abc-гипотеза

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
У этого термина существуют и другие значения, см. ABC.

abc-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 году[1] и Джозефом Эстерле в 1988 году[2].

abc-гипотеза относится к числу главных нерешённых проблем математики. Если она верна, то из неё следует множество важных результатов теории чисел. До сих пор математическое сообщество не пришло к окончательному выводу о том, можно ли считать её доказанной. В 2012 году японский математик Синъити Мотидзуки предложил доказательство гипотезы, однако оно оказалось таким сложным, что окончательно подтвердить или опровергнуть его пока не удаётся.

Формулировка

Гипотезу удобно формулировать в терминах радикала числа. По определению, радикал целого положительного числа [math]\displaystyle{ n }[/math] (обозначается как [math]\displaystyle{ \operatorname{rad}(n) }[/math]) — это произведение его различных простых делителей. Например,

[math]\displaystyle{ \operatorname{rad}(18)=\operatorname{rad}(2\cdot 3^2)=\operatorname{rad}(2\cdot3)=6 }[/math]

[math]\displaystyle{ \text{rad}(p^k)=p }[/math] для любого простого [math]\displaystyle{ p }[/math] в любой степени [math]\displaystyle{ k\gt 0 }[/math].

Рассмотрим взаимно простые целые положительные числа [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ c }[/math], такие что [math]\displaystyle{ a+b=c }[/math]. Для большинства таких троек [math]\displaystyle{ \operatorname{rad}(abc)\gt c }[/math], при этом существуют исключения (и их бесконечно много), то есть такие тройки, что [math]\displaystyle{ \operatorname{rad}(abc)\lt c }[/math].

Гипотеза утверждает, что если радикал [math]\displaystyle{ \operatorname{rad}(abc) }[/math] возвести в любую степень, большую единицы, то исключительных троек будет конечное число.

Точнее говоря,

Для любого вещественного [math]\displaystyle{ ε\gt 0 }[/math] существует не более чем конечное число троек ([math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]) взаимно простых целых чисел [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ c }[/math], таких что [math]\displaystyle{ a+b=c }[/math] и
[math]\displaystyle{ c \gt \operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}. }[/math]

или, в эквивалентной формулировке,

Для любого [math]\displaystyle{ ε\gt 0 }[/math] существует постоянная [math]\displaystyle{ K(ε) }[/math], при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ c }[/math], таких, что [math]\displaystyle{ a+b=c }[/math], выполняется неравенство [math]\displaystyle{ \max\big(|a|, |b|, |c|\big) \leqslant K(ε) \cdot \big(\operatorname{rad}(abc)\big)^{1+\varepsilon} }[/math].

Без ограничения общности можно рассматривать упорядоченные по возрастанию натуральные числа [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ c }[/math]. Тогда неравенство сводится к условию [math]\displaystyle{ c \leqslant K(ε) \cdot \big(\operatorname{rad}(abc)\big)^{1+\varepsilon} }[/math]. Условие [math]\displaystyle{ ε \gt 0 }[/math] является существенным: существует бесконечно много [math]\displaystyle{ abc }[/math]-троек таких, что [math]\displaystyle{ c \gt \operatorname{rad}(abc) }[/math], то есть для любого [math]\displaystyle{ K }[/math] существует тройка взаимно простых чисел [math]\displaystyle{ a, b, c = a + b }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ c \gt K \cdot \operatorname{rad}(abc) }[/math]. Например тройка вида [math]\displaystyle{ a = 1, b = 2^{2 \cdot 3^n} - 1, c = 2^{2 \cdot 3^n} }[/math], где [math]\displaystyle{ K \lt 3^{n-1} }[/math].

Примеры троек

Для любой [math]\displaystyle{ abc }[/math]-тройки существует такое число [math]\displaystyle{ q }[/math], что [math]\displaystyle{ c = \operatorname{rad}(abc)^{q} }[/math]. Для большинства троек [math]\displaystyle{ c \lt \operatorname{rad}(abc) }[/math], то есть [math]\displaystyle{ q \lt 1 }[/math]. Тройки, у которых [math]\displaystyle{ q \gt 1 }[/math], являются «исключительными» в том смысле, что их конечное количество для любого [math]\displaystyle{ ε = q - 1 }[/math], согласно утверждению гипотезы. Величина

[math]\displaystyle{ q(a, b, c) = \frac{\log(c)}{\log\big(\textrm{rad}(abc)\big)} }[/math]

называется показателем качества тройки (англ. quality of the triple). Чем она больше, тем сложнее найти соответствующую тройку. Например,

q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

Поиску исключительных троек с большим показателем качества был посвящен проект распределённых вычислений ABC@Home, в котором на мощностях компьютеров добровольных участников проекта в 2011 были найдены перебором все тройки, в которых участвуют числа не более чем с 18 знаками. Проект был закрыт в 2015 году, всего было найдено свыше 23 миллионов троек.

Тройка с максимальным известным в настоящее время показателем качества [math]\displaystyle{ q = 1,6299... }[/math] имеет вид [math]\displaystyle{ 2 + 3^{10} \cdot 109 = 23^5 }[/math]. Точная верхняя грань множества показателей качества неизвестна. Считается, что она меньше 2, то есть не существует [math]\displaystyle{ abc }[/math]-троек таких, что [math]\displaystyle{ c \gt \operatorname{rad}(abc)^2 }[/math]. Даже в такой «ослабленной» версии гипотезы она позволяет доказать великую теорему Ферма буквально в две строчки.

Следствия

Гипотеза Била и Великая теорема Ферма

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших [math]\displaystyle{ z }[/math], а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней[3].

Доказательство гипотезы Била на основе abc-гипотезы

Согласно гипотезе Била, если [math]\displaystyle{ A^x+B^y=C^z }[/math] ([math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math], [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ y }[/math], [math]\displaystyle{ z }[/math] — натуральные и [math]\displaystyle{ x,\;y,\;z\gt 2 }[/math]), то [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math] имеют общий делитель.

Докажем гипотезу Била для достаточно больших [math]\displaystyle{ z }[/math] от противного. Предположим, существует бесконечное количество [math]\displaystyle{ z }[/math], для которых гипотеза Била неверна. Применим abc-гипотезу, согласно которой:

[math]\displaystyle{ C^z\leqslant K(\varepsilon)\cdot \left(\operatorname{rad}(A^xB^yC^z)\right)^{1+\varepsilon} }[/math]

Учтём, что [math]\displaystyle{ \operatorname{rad}(A^xB^yC^z)=\operatorname{rad}(ABC)\leqslant ABC }[/math]. Поэтому:

[math]\displaystyle{ C^z\leqslant K(\varepsilon)\cdot \left(\operatorname{rad}(ABC)\right)^{1+\varepsilon}\leqslant K(\varepsilon)\cdot(ABC)^{1+\varepsilon} }[/math]

Поскольку из условий теоремы очевидно, что [math]\displaystyle{ A\lt C }[/math] и [math]\displaystyle{ B\lt C }[/math], то [math]\displaystyle{ ABC\leqslant C^3 }[/math]. Тогда:

[math]\displaystyle{ C^z \leqslant K(\varepsilon)\cdot C^{3+3\varepsilon} }[/math]

Прологарифмировав обе части неравенства и разделив на [math]\displaystyle{ \log C }[/math], получим ограничение сверху на величину [math]\displaystyle{ z }[/math]:

[math]\displaystyle{ z\leqslant \frac{\log K(\varepsilon)}{\log C}+3+3\varepsilon }[/math],        (*)

причём, отношение [math]\displaystyle{ \frac{\log K(\varepsilon)}{\log C} }[/math] должно быть конечным, поскольку, по условию [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math] — натуральные (то есть [math]\displaystyle{ A,B\geqslant 1\;\Rightarrow\; C\geqslant 2 }[/math])

Таким образом, можно найти некоторое конечное значение [math]\displaystyle{ z }[/math], для которого неравенство (*) не выполняется, то есть abc-гипотеза здесь несправедлива, а значит сделанное предположение о неверности гипотезы Била для достаточно больших [math]\displaystyle{ z }[/math] ошибочно. Для оставшегося конечного количества [math]\displaystyle{ z }[/math] справедливость гипотезы Била можно доказать численно.

Гипотезы Пиллаи и Каталана

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.

Доказательство Мотидзуки

В августе 2012 года авторитетный японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать abc-гипотезу[4][5]. Предложенное им доказательство оказалось исключительно сложным даже с точки зрения математиков-специалистов[6].

Опубликовав доказательство в интернете, Мотидзуки отказался от всех предложений лично рассказать сообществу о своих результатах, но несколько математиков взялись за самостоятельную проверку доказательства при содействии Мотидзуки. Они публикуют отчёты о ходе этой работы[7]. Начиная с конца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своих результатах[8]. На конец 2017 года в мире насчитывается от 10 до 20 специалистов по теории, созданной Мотидзуки[9].

Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, не опровергнуто, но пока и не считается проверенным в научном сообществе. Длительное пребывание доказательства в этом неопределённом статусе необычно для математических доказательств[9][10] (в отличие от случаев, когда в доказательствах, которые считались проверенными и верными, обнаруживались ошибки).

В 2018 году Петер Шольце и Якоб Стикс — специалисты в областях, связанных с abc-гипотезой и работами Мотидзуки — объявили, что в ключевом для доказательства abc-гипотезы месте теории Мотидзуки (которое давно вызывало особые трудности у математиков, пытавшихся разобраться в теории) имеется неустранимая ошибка[11][6]. Мотидзуки ответил, что Стикс и Шольце неправильно интерпретировали некоторые ключевые аспекты его доказательства и поэтому сделали недопустимые упрощения[12].

На 2020 год доказательство Мотидзуки всё ещё пребывает в неопределённом статусе, математическое сообщество не убеждено в его верности, несмотря на принятие доказательства к публикации в журнале Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS, «Публикации Научно-исследовательского института математических наук») Научно-исследовательского института математических наук при Киотском университете (Япония) — это институт, в котором работает Мотидзуки[13][14].

В марте 2021 года доказательство Мотидзуки было опубликовано в PRIMS[15].

См. также

Примечания

  1. ↑ D. W. Masser. Open problems (англ.) // Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory / W. W. L. Chen. — London: Imperial College, 1985. — Vol. 25.
  2. ↑ J. Oesterlé. Nouvelles approches du "théorème" de Fermat (фр.) // Séminaire N. Bourbaki. — 1988. — Vol. 694. — P. 165–186. — ISSN 0303-1179.
  3. ↑ R. Daniel Mauldin. A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem (англ.) // Notices of the AMS. — 1985. — Vol. 44, no. 11. — P. 1436—1437.
  4. ↑ Японский математик заявил о доказательстве АВС-гипотезы, Lenta.ru (11 сентября 2012). Архивировано 14 сентября 2012 года. Дата обращения 11 сентября 2012.
  5. ↑ Mochizuki, Shinichi (August 2012). Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters, Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation, Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice., Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations, доступны на странице http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html Архивная копия от 2 февраля 2021 на Wayback Machine
  6. ↑ 6,0 6,1 David Michael Roberts. A Crisis of Identification // Inference. — 2019. — Vol. 4, no. 3.
  7. ↑ IUTeich Verification Report 2013-12 Архивная копия от 13 сентября 2014 на Wayback Machine, IUTeich Verification Report 2014-12 Архивная копия от 22 января 2015 на Wayback Machine
  8. ↑ «Японский Перельман» согласился объяснить главнейшую тайну математики. Архивная копия от 27 ноября 2015 на Wayback Machine // Lenta.ru, 2015-10-08
  9. ↑ 9,0 9,1 Timothy Revell. Baffling ABC maths proof now has impenetrable 300-page ‘summary’. New Scientist (7 сентября 2017). Дата обращения: 8 декабря 2017. Архивировано 23 декабря 2017 года.
  10. ↑ Caroline Chen. The Paradox of the Proof (4 мая 2013). Дата обращения: 6 сентября 2016. Архивировано 16 сентября 2013 года. Перевод: Даниил Басманов. Парадокс доказательства (17 июня 2013). Дата обращения: 6 сентября 2016. Архивировано 14 сентября 2016 года.
  11. ↑ Klarreich, Erica. Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture, Quanta (20 сентября 2018). Архивировано 14 марта 2021 года. Дата обращения 21 сентября 2018. Перевод: Титаны от математики схлестнулись над эпичным доказательством abc-гипотезы Архивная копия от 12 октября 2018 на Wayback Machine
  12. ↑ Mochizuki, Shinichi Report on Discussions, Held during the Period March 15 – 20, 2018, Concerning Inter-Universal Teichmüller Theory. Дата обращения: 18 января 2019. Архивировано 9 ноября 2018 года.
    Mochizuki, Shinichi Comments on the manuscript by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory. Дата обращения: 18 января 2019. Архивировано 21 сентября 2018 года.
    Mochizuki, Shinichi Comments on the manuscript (2018-08 version) by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory. Дата обращения: 18 января 2019. Архивировано 24 октября 2018 года.
  13. ↑ Журнал Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences несмотря ни на что опубликует работу математика Синъити Мотидзуки с доказательством гипотезы Эстерле — Массера Архивная копия от 11 июня 2020 на Wayback Machine // Лента.Ру, 3 апреля 2020
  14. ↑ Nature (Великобритания): математическое доказательство, которое потрясет теорию чисел, готовится к публикации. Дата обращения: 12 апреля 2020. Архивировано 12 апреля 2020 года.
  15. ↑ Mochizuki, Shinichi Mochizuki's proof of ABC conjecture. Дата обращения: 14 июля 2021. Архивировано 3 мая 2021 года.

Ссылки

Литература

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Abc-гипотеза&oldid=18383061