4-градиент
4-градие́нт (четыре-градиент, четырёхградиент, 4-на́бла; обозначается D, [math]\displaystyle{ \nabla_{\mu} }[/math] или [math]\displaystyle{ \partial_{\mu} }[/math]) в специальной теории относительности — 4-векторный дифференциальный оператор в псевдоевклидовом пространстве Минковского, определяемый как[1]
- [math]\displaystyle{ \partial_\mu = \nabla_{\mu} = \left(\frac{\partial}{c\,\partial t},\; \vec{\nabla} \right) = \left(\frac{\partial}{c\,\partial t},\; \frac{\partial}{\partial x},\; \frac{\partial}{\partial y},\; \frac{\partial}{\partial z}\; \right), }[/math]
где [math]\displaystyle{ \vec{\nabla} = \left( \frac{\partial}{\partial x},\; \frac{\partial}{\partial y},\; \frac{\partial}{\partial z}\; \right) }[/math] — 3-вектор градиента. Следует отметить, что выше записаны ковариантные компоненты 4-векторного оператора. Контравариантные компоненты [math]\displaystyle{ \partial^\mu = \nabla^{\mu} = g^{\mu\nu}\nabla_{\nu} = \left(\frac{\partial}{c\,\partial t},\; -\vec{\nabla} \right), }[/math] отличающиеся знаком минус перед пространственными компонентами, используются редко, например для вычисления квадрата 4-градиента[1] (здесь и ниже [math]\displaystyle{ g^{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1) }[/math] — метрический тензор; используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся координатным индексам).
Если вычислить скалярное произведение D на самого себя (учитывая, что пространство Минковского псевдоевклидово), то получится скалярный 4-мерный оператор Д’Аламбера:
- [math]\displaystyle{ \square = D \cdot D = g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}\nabla_{\nu} = \partial^{\nu}\partial_{\nu}= \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} - \Delta = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2} \;, }[/math]
где Δ — оператор Лапласа.
Ещё один способ обозначения 4-градиента — запятая перед координатным индексом. Так, если а — скаляр, то его 4-градиент
- [math]\displaystyle{ \partial_{\mu}a = a_{\;,\mu}\;. }[/math]
Скалярное произведение вектора 4-градиента (слева) на 4-вектор определяет 4-дивергенцию:
- [math]\displaystyle{ D \cdot A = \partial_{\mu}A^{\mu} = A^{\mu}_{\;,\mu} = \frac{\partial A_t}{c\;\partial t} + \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} = \frac{\partial A_t}{c\;\partial t} + \nabla \mathbf{A}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ A^{\mu}=\{A^0,A^1,A^2,A^3\}=\{A_t, \mathbf{A}\} }[/math] — контравариантные компоненты 4-вектора, а [math]\displaystyle{ \nabla \mathbf{A} }[/math] — дивергенция.
Символ [math]\displaystyle{ D_\mu }[/math] (и иногда [math]\displaystyle{ \nabla_\mu }[/math]) используется также как ковариантная производная в криволинейных координатах:
- [math]\displaystyle{ D_\mu A^\nu = \partial_\mu A^\nu + \Gamma^\nu_{\alpha\mu} A^\alpha, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \Gamma^\nu_{\alpha\mu} }[/math] — символы Кристоффеля. В декартовых координатах евклидового (псевдоевклидового) пространства символы Кристоффеля равны нулю и ковариантная производная совпадает с 4-градиентом. Ковариантная производная скаляра совпадает с 4-градиентом независимо от криволинейности координат:
- [math]\displaystyle{ D_\mu a = \partial_\mu a. }[/math]
Ссылки
- S. Hildebrandt, «Analysis II» (Calculus II), ISBN 3-540-43970-6, 2003.
- L. C. Evans, «Partial differential equations», A.M.Society, Grad. Studies Vol. 19, 1988.
- J. D. Jackson, «Classical Electrodynamics» Chapter 11, Wiley ISBN 0-471-30932-X.
Примечания
- ↑ Перейти обратно: 1,0 1,1 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 37. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.