Языки Арнольда

Языки Арнольда — в теории динамических систем, области рациональности числа вращения в двупараметрическом семействе гомеоморфизмов окружности, начинающемся (при нулевом значении одного из параметров) с чистых поворотов.

Постановка задачи

Рассмотрим семейство гомеоморфизмов окружности

[math]\displaystyle{ f_{\alpha, \varepsilon}(x)=x+\alpha + \varepsilon\sin (2\pi x) , \quad x,\alpha \in S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}, \, \varepsilon\in[0,1/10] . }[/math]

Для этого семейства, можно рассмотреть функцию [math]\displaystyle{ \rho(\alpha,\varepsilon) }[/math], сопоставляющую параметрам [math]\displaystyle{ (\alpha,\varepsilon) }[/math] число вращения соответствующего гомеоморфизма. Множества точек, в которых она принимает рациональные значения,

[math]\displaystyle{ E_{p/q}:=\{(\alpha,\varepsilon) \mid \rho(\alpha,\varepsilon)=p/q \}, }[/math]

и называются языками Арнольда.

Описание поведения

Языки Арнольда для некоторых значений числа вращения

При [math]\displaystyle{ \varepsilon=0 }[/math] отображение [math]\displaystyle{ f_{\alpha} }[/math] является поворотом на угол [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]. Соответственно, [math]\displaystyle{ \rho(\alpha,0)=\alpha }[/math], и рациональное значение [math]\displaystyle{ p/q }[/math] принимается только в соответствующей точке [math]\displaystyle{ \alpha=p/q }[/math]

Напротив, при сколь угодно малом [math]\displaystyle{ \varepsilon_0\gt 0 }[/math] для каждого [math]\displaystyle{ p/q }[/math] пересечение [math]\displaystyle{ E_{p/q} }[/math] с горизонтальным отрезком [math]\displaystyle{ \varepsilon=\varepsilon_0 }[/math] оказывается отрезком. Это связано с тем, что, как утверждает теорема Пуанкаре, число вращения рационально со знаменателем q тогда и только тогда, когда у отображения [math]\displaystyle{ f^q }[/math] имеется неподвижная точка. Соответственно, поскольку семейство [math]\displaystyle{ f_{\alpha,\varepsilon} }[/math] при любом фиксированном [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] монотонно по [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], при увеличении [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] наблюдается последовательность бифуркаций:

• Сначала (на левом краю [math]\displaystyle{ E_{p,q}\cap \{\varepsilon=\varepsilon_0\} }[/math]) у [math]\displaystyle{ f_{\alpha,\varepsilon_0} }[/math] появляется полуустойчивая периодическая орбита периода [math]\displaystyle{ q }[/math] точка (или одновременно появляются несколько таких орбит); все точки, не принадлежащие к таким орбитам, стремятся к ним, дрейфуя «по часовой стрелке» (в направлении убывания [math]\displaystyle{ x }[/math]).
• Эти орбиты немедленно распадаются на устойчивые и неустойчивые; устойчивые с ростом параметра [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] дрейфуют против, а неустойчивые по часовой стрелке.
• В течение определённого отрезка параметров [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] периодические точки дрейфуют, возможно, происходит рождение новых или уничтожение старых орбит.
• Наконец, в некоторый момент оказывается, что все имевшиеся орбиты слились в одну или несколько полуустойчивых орбит, дрейф в дополнении к которым идёт против часовой стрелки — в положительном направлении. Это и есть правая граница [math]\displaystyle{ E_{p,q}\cap \{\varepsilon=\varepsilon_0\} }[/math] — при сколь угодно малом дальнейшем увеличении [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] периодические точки периода [math]\displaystyle{ q }[/math] исчезают (а число вращения, тем самым, строго увеличивается).

Единственное возможное поведение аналитического диффеоморфизма, при котором вышеописанный сценарий не имеет места — это диффеоморфизм конечного порядка: если для некоторого [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] отображение [math]\displaystyle{ f_{\alpha,\varepsilon_0}^q }[/math] тождественно, то соответствующее [math]\displaystyle{ E_{p,q}\cap \{\varepsilon=\varepsilon_0\} }[/math] состоит из одной точки [math]\displaystyle{ (\alpha,\varepsilon_0) }[/math]. Однако, соображения комплексного анализа легко показывают, что для рассматриваемого выше семейства это не происходит.

Подытоживая всё вышесказанное, видим, что множество [math]\displaystyle{ E_{p/q} }[/math] — это своеобразный «язык», «растущий» из точки [math]\displaystyle{ (p/q,0) }[/math] и ограниченный двумя непрерывными кривыми.

Также, используя теорему Данжуа и соображения монотонности, несложно увидеть, что для любого иррационального [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] множество [math]\displaystyle{ E_{\varphi}=\{\rho(\alpha,\varepsilon)=\varphi\} }[/math] — это непрерывная кривая, начинающаяся из точки [math]\displaystyle{ (\varphi,0) }[/math].

Стоит отметить, что при любом фиксированном [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] число вращения как функция параметра [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] является канторовой лестницей. Однако, в отличие от обычной конструкции канторовой лестницы, канторово множество её точек роста (замыкание множества параметров [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], соответствующих иррациональным числам вращения) оказывается имеющим положительную меру Лебега.

Ссылки

• Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.