Двоичное дерево

Двои́чное де́рево — иерархическая структура данных, в которой каждый узел имеет не более двух потомков (детей). Как правило, первый называется родительским узлом, а дети называются левым и правым наследниками. Двоичное дерево является упорядоченным ориентированным деревом.

Для практических целей обычно используют два подвида двоичных деревьев — двоичное дерево поиска и двоичная куча.

Рекурсивное определение

Существует следующее рекурсивное определение двоичного дерева (см. БНФ):

<двоичное дерево> ::= ( <данные> <двоичное дерево> <двоичное дерево> ) | null .

То есть двоичное дерево либо является пустым, либо состоит из данных и двух поддеревьев (каждое из которых может быть пустым). Очевидным, но важным для понимания фактом является то, что каждое поддерево в свою очередь тоже является деревом. Если у некоторого узла оба поддерева пустые, то он называется листовым узлом (листовой вершиной) или конечным (терминальным) узлом.

Например, показанное справа на рис. 1 дерево согласно этой грамматике можно было бы записать так:

(m (e (c (a null null) null ) (g null (k null null) ) ) (s (p (o null null) (s null null) ) (y null null) ) )

Рис. 1. Двоичное дерево поиска, в котором ключами являются латинские символы упорядоченные по алфавиту.

Каждый узел в дереве задаёт поддерево, корнем которого он является. У вершины m = (data, left, right) есть два потомка (левый и правый) left и right и, соответственно, два поддерева (левое и правое) с корнями left и right.

Применение

Многие полезные структуры данных основаны на двоичном дереве:

• Двоичное дерево поиска
• Двоичная куча
• АВЛ-дерево
• Красно-чёрное дерево
• Матричное дерево
• Дерево Фибоначчи
• Суффиксное дерево