Формула произведения корангов
Формула произведения корангов — математическая формула, выражающая коразмерность множества точек, в которых ядро производной отображения имеет заданную размерность, в виде произведения корангов данного отображения в прообразе и образе.
Формулировка
Корангом линейного отображения [math]\displaystyle{ A: \mathbb R^m \to \mathbb R^n }[/math] в прообразе (в образе) называется число [math]\displaystyle{ m-r }[/math] (соответственно, [math]\displaystyle{ n-r }[/math]), где [math]\displaystyle{ r }[/math] — ранг отображения [math]\displaystyle{ A }[/math]. Коранги связаны с размерностью ядра [math]\displaystyle{ A }[/math] (обозначим её [math]\displaystyle{ i }[/math]) формулами: [math]\displaystyle{ m-r=i }[/math] и [math]\displaystyle{ n-r = n-m+i }[/math][1].
Пусть [math]\displaystyle{ f: M^m \to N^n }[/math] — гладкое отображение гладких многообразий [math]\displaystyle{ M^m }[/math] и [math]\displaystyle{ N^n }[/math] размерностей [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math], соответственно. Символом [math]\displaystyle{ f_{*x} }[/math] обозначается его производная в точке [math]\displaystyle{ x \in M^m }[/math], то есть линейное отображение касательных пространств [math]\displaystyle{ f_{*x}: T_{x}M^m \to T_{f(x)}N^n }[/math].
Точка [math]\displaystyle{ x \in M^m }[/math] принадлежит множеству [math]\displaystyle{ \Sigma^i, }[/math] [math]\displaystyle{ i \ge 0, }[/math] если размерность ядра производной [math]\displaystyle{ f_{*x} }[/math] в этой точке равна [math]\displaystyle{ i }[/math]. Множества [math]\displaystyle{ \Sigma^0, \ldots, \Sigma^m }[/math] заведомо покрывают всё многообразие [math]\displaystyle{ M^m }[/math], однако, как правило, в этой цепочке не все множества являются непустыми (например, в случае [math]\displaystyle{ n\gt m }[/math] имеет место неравенство [math]\displaystyle{ r \le n\lt m }[/math], из которого с учетом соотношения [math]\displaystyle{ m-r=i }[/math] следует, что [math]\displaystyle{ i\gt 0 }[/math], то есть множество [math]\displaystyle{ \Sigma^0 }[/math] пусто).
|
Теорема. Для отображения [math]\displaystyle{ f: M^m \to N^n }[/math] общего положения все множества [math]\displaystyle{ \Sigma^i }[/math] являются гладкими подмногообразиями в [math]\displaystyle{ M^m }[/math]. При этом имеет место соотношение
где [math]\displaystyle{ r=m-i }[/math] — ранг отображения [math]\displaystyle{ f_{*x}, }[/math] называемое формулой произведения корангов[1]. |
Вычисленное по этой формуле значение [math]\displaystyle{ \dim \Sigma^i }[/math] может быть отрицательным. Это означает, что соответствующее множество [math]\displaystyle{ \Sigma^i }[/math] пусто.
Следствие. В пространстве матриц типа [math]\displaystyle{ (m, n) }[/math] множество матриц ранга [math]\displaystyle{ r }[/math] образует гладкое многообразие коразмерности [math]\displaystyle{ (m-r)(n-r) }[/math][1].
Литература
- Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.