Фильтр Саллена — Ки

Фильтр Са́ллена — Ки — один из типов активных электронных фильтров 2-го порядка.

Реализуется в виде электронной схемы с двумя резисторами, двумя конденсаторами и активным элементом (например, с операционным усилителем), в совокупности образующих фильтр с передаточной функцией второго порядка. Фильтры более высокого порядка могут быть реализованы включением нескольких фильтров последовательно, причём для реализации фильтра с нечётным порядком в цепочку фильтров включают по крайней мере один фильтр 1-го порядка.

Описываемая схема также известна как VCVS-фильтр (англ. voltage-controlled voltage source) источник напряжения, управляемый напряжением — ИНУН. Иногда её называют «фильтром с многопетлевой обратной связью».

Назван в честь исследователей из Массачусетского технологического института Роя Саллена (англ. Roy Pines Sallen) и Эдвина Ки (англ. Edwin L. Key), предложивших структуру такого фильтра в 1955 году.

Для упрощения формул фильтры, описанные в этой статье, кроме полосового фильтра, имеют коэффициент усиления в полосе пропускания равный единице (0 дБ). Реальные фильтры Саллена — Ки могут иметь произвольный коэффициент усиления, задаваемый резистивным делителем напряжения в отрицательной обратной связи усилительного компонента, например, операционного усилителя (ОУ), как показано в схеме полосового фильтра.

Фильтр нижних частот

Вариант фильтра нижних частот с единичным усилением в полосе пропускания.

Операционный усилитель в данной схеме включён по схеме повторителя напряжения.

В общем случае частота среза [math]\displaystyle{ F_c }[/math] и добротность фильтра [math]\displaystyle{ Q }[/math] задаются следующими выражениями:

[math]\displaystyle{ F_c = \frac{1}{2\pi\sqrt{R_1R_2C_1C_2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ Q = \frac{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}{C_2(R_1+R_2)} }[/math]

К примеру, представленная на рисунке схема с указанными номиналами компонентов имеет частоту среза 15,9 кГц и добротность 0,5.

Передаточная функция фильтра:

[math]\displaystyle{ H(s)=\frac{1}{1+C_2(R_1+R_2)s+C_1C_2R_1R_2s^2}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ s }[/math] — оператор Лапласа.

При формальной замене [math]\displaystyle{ s = j\omega }[/math] получаем комплексную передаточную характеристику в виде:

[math]\displaystyle{ H(\omega)=\frac{1}{1 + jC_2(R_1 + R_2)\omega - C_1C_2R_1R_2\omega^2}. }[/math]

Фильтр верхних частот

Вариант фильтра верхних частот с частотой среза в 72 Гц и добротностью 0,5.

Соответствующие выражение для частоты среза:

[math]\displaystyle{ F_c = \frac{1}{2\pi\sqrt{R_1R_2C_1C_2}} }[/math]

и добротности:

[math]\displaystyle{ Q = \frac{R_2C_x}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}} }[/math],

где

[math]\displaystyle{ C_x = C_1\|C_2 = \frac{C_1C_2}{C_1+C_2} }[/math].

Полосовой фильтр

Вариант полосового фильтра.

Резонансная частота:

[math]\displaystyle{ F_c=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{R_f+R_1}{C_1C_2R_1R_2R_f}} }[/math]

Делитель напряжений в обратной связи задаёт коэффициент передачи фильтра на резонансной частоте. ОУ включён по схеме неинвертирующего усилителя и его собственный коэффициент усиления [math]\displaystyle{ G }[/math] выражается:

[math]\displaystyle{ G=1+\frac{R_b}{R_a} }[/math],

и усиление этого полосового фильтра на резонансной частоте:

[math]\displaystyle{ A=\frac{G}{3-G} }[/math].

Важно заметить, что коэффициент [math]\displaystyle{ G }[/math] не должен превышать 3, в противном случае фильтр потеряет устойчивость и будет генерировать колебания.

Ограничения

Фильтры со структурой Саллена — Ки порядка более двух неприменимы из-за потери устойчивости. Обойти данное ограничение позволяет последовательное соединение нескольких активных фильтров второго порядка.

Ссылки

• Analog Devices Мастер расчёта активных фильтров (рус.)
• Фильтруй сигнал!