Уравнение трёх моментов

Уравнение трёх моментов — уравнение для расчёта моментов в задаче об изгибе неразрезной многопролётной балки.

Известно, что балка при наличии дополнительных опор становится статически неопределимой. Одним из методов расчёта таких балок является метод сил. С помощью данного метода выводится уравнение трёх моментов:

[math]\displaystyle{ M_{i-1}l_i + 2M_i(l_i+l_{i+1})+ M_{i+1}l_{i+1}= -6\left(\frac{\Omega_ia_i}{l_i}+\frac{\Omega_{i+1}b_{i+1}}{l_{i+1}}\right). }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \Omega_i }[/math] — площадь эпюры моментов i-й статически определимой балки, [math]\displaystyle{ a_i }[/math] — расстояние от центра тяжести i-й эпюры до левого конца балки, [math]\displaystyle{ b_i }[/math] — расстояние от центра тяжести i-й эпюры до правого конца балки, [math]\displaystyle{ l_i=a_i+b_i }[/math] — длина i-й балки.

Вывод уравнения трёх моментов предусматривает, что после введения шарниров над опорами получается статически определимая система из [math]\displaystyle{ n }[/math] балок, каждая из которых представляет простую балку с опорами по концам. Неизвестные в методе сил — моменты, приложенные по концам независимых балок.

История

Мост через Сену в Аньере.
Винсент ван Гог, 1887

Впервые уравнение для расчёта неразрезных балок применил мостостроитель и путейский инженер Берто (Bertot) в 1855 г. Сам же метод применялся ранее (1849) при реконструкции моста через Сену в Аньере (пригород Парижа, ныне известный как Аньер-сюр-Сен, фр. Asnières-sur-Seine), но опубликован Клапейроном в трудах Академии наук только в 1857 г. Так как идея основной системы с неизвестными моментами над опорами впервые была высказана Клапейроном, уравнение трёх моментов связывают с его именем. Дальнейшее развитие теория неразрезных балок получила в работах Отто Мора, который обобщил теорию на случай, когда опоры расположены на разной высоте (1860).

Процедура применения

Процедура решения задачи с использованием уравнения трёх моментов такова.

1.  Балка режется на отдельные части (простые балки) дополнительными внутренними шарнирами в местах крепления опор.

Обозначения реакций образовавшихся связей: — моменты [math]\displaystyle{ M_0, M_1,..., M_{n} }[/math].

2.  Нумеруются пролёты (участки балки между опорами). Число пролётов равно [math]\displaystyle{ n }[/math]. Левая консоль считается нулевым пролётом, правая имеет номер [math]\displaystyle{ n+1 }[/math]. Длины пролётов: [math]\displaystyle{ l_i }[/math], [math]\displaystyle{ i=0,...,n+1 }[/math].

3.  Из условия равновесия консольных частей определяются моменты [math]\displaystyle{ M_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ M_n }[/math]. Остальные моменты являются неизвестными системы [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] уравнений трёх моментов.

4.  Строятся эпюры моментов [math]\displaystyle{ M_p }[/math] и перерезывающих сил [math]\displaystyle{ Q_p }[/math] в пролётах и консолях (если они есть) балки от действия внешней нагрузки. Каждый пролёт представляет собой отдельную статически определимую балку.

5.  Вычисляются площади эпюр моментов [math]\displaystyle{ \Omega_i }[/math], [math]\displaystyle{ i=1,...,n }[/math] в пролётах и расстояния от центров тяжести этих площадей до левой ([math]\displaystyle{ a_i }[/math]) и правой ([math]\displaystyle{ b_i }[/math]) опоры соответствующего пролёта.

6.  Решение системы уравнений трёх моментов складывается с эпюрами моментов от внешней нагрузки. Полученная эпюра есть эпюра моментов в неразрезной балке.

Пример

Построить эпюру моментов в неразрезной балке длиной 19 метров с четырьмя опорами (рис. 1). На балку действует распределённая нагрузка [math]\displaystyle{ q_1= 10 }[/math] кН/м, [math]\displaystyle{ q_2=12 }[/math] кН/м и сосредоточенная сила [math]\displaystyle{ P = 9 }[/math] кН.

Рис. 1

Длина консоли: [math]\displaystyle{ l_0=4 }[/math] м. Длины пролетов: [math]\displaystyle{ l_1=l_2=l_3=5 }[/math] м. Получаем основную систему метода сил, вводя шарниры над опорами (рис. 2). Моменты [math]\displaystyle{ M_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ M_3 }[/math] — величины известные и определяются из условия равновесия консолей. Правой консоли здесь нет, [math]\displaystyle{ M_3=0 }[/math]. Для левой консоли получаем [math]\displaystyle{ M_0=q_1l_0^2/2 }[/math].

Рис. 2

Строим эпюры моментов от внешней нагрузки в независимых балках основной (статически определимой) системы (рис. 3). Эпюры строим на сжатом волокне (как принято в машиностроении; в строительстве и архитектуре эпюры моментов принято строить на растянутом волокне).

Рис. 3

Записываем уравнения трёх моментов:

[math]\displaystyle{ l_1M_0+2M_1(l_1+l_2)+M_2l_2=-6(\Omega_1a_1/l_1+\Omega_2b_2/l_2), }[/math]

[math]\displaystyle{ l_2M_1+2M_2(l_2+l_3)+M_3l_3=-6(\Omega_2a_2/l_2+\Omega_3b_3/l_3). }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \Omega_1=10.8\cdot5/2=27, }[/math] [math]\displaystyle{ a_1=(2+5)/3=2.333, }[/math] [math]\displaystyle{ \Omega_2=\Omega_3=2fl_2/3=125, }[/math] [math]\displaystyle{ a_2=b_2=a_3=b_3=2.5. }[/math] Решаем систему уравнений [math]\displaystyle{ M_1=7.301 }[/math] кНм, [math]\displaystyle{ M_2=-39.325 }[/math] кНм. Строим эпюру от этих моментов (рис. 4).

Рис. 4

Складываем (по точкам) эпюры от нагрузки (рис. 3) и от моментов (рис. 4). Получаем эпюру моментов в балке (рис. 5).

Рис. 5

Очевидным достоинством метода является простота матрицы системы линейных уравнения задачи. Эта матрица — трёхдиагональная, что позволяет применять различные упрощённые численные схемы решения.

Литература

• Киселёв В. А. . Строительная механика. Общий курс. — М.: Стройиздат, 1986. — 520 с.
• Горшков А. Г., Трошин В. Н., Шалашилин В. И. . Сопротивление материалов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 544 с. — ISBN 5-9221-0181-1.