Уравнение Д’Аламбера

Уравнение Д’Аламбера — дифференциальное уравнение вида

[math]\displaystyle{ y=x\varphi(y')+f(y'), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] и [math]\displaystyle{ f }[/math] — функции. Впервые исследовалось Ж. Д’Аламбером (J. D’Alembert, 1748). Известно также под названием уравнения Лагранжа, частный случай при [math]\displaystyle{ \varphi(y') \equiv y' }[/math] называется уравнением Клеро.

Решение

Интегрирование дифференциальных уравнений такого типа производится в параметрическом виде, с помощью параметра

[math]\displaystyle{ y' = p. }[/math]

С учётом этой подстановки, исходное уравнение принимает вид

[math]\displaystyle{ y = x\varphi(p)+f(p). }[/math]

Дифференцирование по x даёт:

[math]\displaystyle{ p = \varphi(p)+\left(x \varphi'(p) + f'(p)\right) \frac{dp}{dx} }[/math]

или

[math]\displaystyle{ p - \varphi(p) = \left(x \varphi'(p) + f'(p)\right) \frac{dp}{dx}. }[/math]

Особые решения

Одним из решений последнего уравнения является любая функция, производная которой является постоянной [math]\displaystyle{ y' = p = p_0 }[/math], удовлетворяющей алгебраическому уравнению

[math]\displaystyle{ p_0 - \varphi(p_0) = 0, }[/math]

так как для постоянного [math]\displaystyle{ p_0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{dp}{dx} \equiv 0. }[/math]

Если [math]\displaystyle{ y' = p_0 }[/math], то [math]\displaystyle{ y = p_0 x + C_0 }[/math], постоянная C должна быть найдена подстановкой в исходное уравнение:

[math]\displaystyle{ p_0 x + C_0 = x \varphi(p_0) + f(p_0), }[/math]

так как в рассматриваемом случае [math]\displaystyle{ p_0 = \varphi(p_0) }[/math], то

[math]\displaystyle{ C_0 = f(p_0) }[/math].

Окончательно можем написать:

[math]\displaystyle{ y = x \varphi(p_0) + f(p_0) }[/math].

Если такое решение нельзя получить из общего, то оно называется особым.

Общее решение

Будем рассматривать обратную функцию к [math]\displaystyle{ p = y' }[/math], тогда, воспользовавшись теоремой о производной обратной функции можно написать:

[math]\displaystyle{ \frac{dx}{dp} - x \frac{\varphi'(p)}{p-\varphi(p)} = \frac{f'(p)}{p-\varphi(p)} }[/math].

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, решая которое, получим выражение для x как функцию от p:

[math]\displaystyle{ x = w(p, C). }[/math]

Таким образом получается решение исходного дифференциального уравнения в параметрическом виде:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} y = x\varphi(p)+f(p) \\ x = w(p, C) \end{cases} }[/math].

Исключая из этой системы переменную p, получим общие решение в виде

[math]\displaystyle{ \Phi(x, y, C) = 0 }[/math].