Пропорция (математика)

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Тройное правило»)

Пропо́рция (лат. proportio «соразмерность, выравненность частей; определённое соотношение частей между собой») — равенство отношений двух [и более] пар чисел [math]\displaystyle{ a , b }[/math] и [math]\displaystyle{ c , d }[/math], т. е. равенство вида [math]\displaystyle{ a : b = c : d }[/math], или, в других обозначениях, равенство [math]\displaystyle{ \ \frac ab=\frac cd }[/math] (часто читается как: «[math]\displaystyle{ a }[/math] относится к [math]\displaystyle{ b }[/math] так же, как [math]\displaystyle{ c }[/math] относится к [math]\displaystyle{ d }[/math]»). В этом случае [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ d }[/math] называют крайними, [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ c }[/math] — средними членами пропорции. Такую пропорцию ещё называют геометрической, чтобы не путать с арифметической и гармонической пропорциями.

Основные свойства пропорций

  • Обращение пропорции. Если [math]\displaystyle{ \ \frac ab=\frac cd }[/math], то [math]\displaystyle{ \ \frac ba=\frac dc }[/math]
  • Перемножение крайних членов пропорции со средними (крест-накрест). Если [math]\displaystyle{ \ \frac ab=\frac cd }[/math], то [math]\displaystyle{ \ ad=bc }[/math]. Иными словами, произведение крайних членов равно произведению средних. Это свойство называется основным свойством пропорции.
  • Перестановка средних и крайних членов. Если [math]\displaystyle{ \ \frac ab=\frac cd }[/math], то
[math]\displaystyle{ \ \frac ac=\frac bd }[/math]    (перестановка средних членов пропорции),
[math]\displaystyle{ \ \frac db=\frac ca }[/math]    (перестановка крайних членов пропорции).
  • Увеличение и уменьшение пропорции. Если [math]\displaystyle{ \ \frac ab=\frac cd }[/math], то
[math]\displaystyle{ \ \dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d} }[/math]    (увеличение пропорции),
[math]\displaystyle{ \ \dfrac{a-b}{b}=\dfrac{c-d}{d} }[/math]    (уменьшение пропорции).
  • Составление пропорции сложением и вычитанием. Если [math]\displaystyle{ \ \frac ab=\frac cd }[/math], то
[math]\displaystyle{ \ \dfrac{a+c}{b+d}=\frac ab =\frac cd }[/math]    (составление пропорции сложением),
[math]\displaystyle{ \ \dfrac{a-c}{b-d}=\frac ab =\frac cd }[/math]    (составление пропорции вычитанием).

История

Первое известное определение равных пропорций было дано как равенство последовательных вычитаний[1], современным языком это можно выразить как равенство цепных дробей для отношений величин.[2] Позже Евдокс Книдский упростил определение, равенство пропорций [math]\displaystyle{ a:b=c:d }[/math] им определялось как одновременное выполнение одной из трёх пар соотношений

  • [math]\displaystyle{ m\cdot a\gt n\cdot b }[/math] и [math]\displaystyle{ m\cdot c\gt n\cdot d }[/math],
  • [math]\displaystyle{ m\cdot a=n\cdot b }[/math] и [math]\displaystyle{ m\cdot c=n\cdot d }[/math],
  • [math]\displaystyle{ m\cdot a\lt n\cdot b }[/math] и [math]\displaystyle{ m\cdot c\lt n\cdot d }[/math]

для любой пары натуральных чисел [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math]. Это определение даётся в «Началах» Евклида.

С появлением вещественных чисел отпала необходимость в специальной теории пропорций, древние математики не рассматривали пропорции длины как числа. Определение Евдокса, данное в несколько более абстрактном виде, использовалось далее при определении вещественных чисел Дедекиндом через сечения.

Связанные определения

Арифметическая пропорция

Равенство двух разностей [math]\displaystyle{ a - b = c - d }[/math] иногда называют арифметической пропорцией[3].

Гармоническая пропорция

Если у геометрической пропорции средние члены равны, а последний является разницей между первым и средним, такая пропорция называется гармонической: [math]\displaystyle{ a : b = b : (a - b) }[/math]. В этом случае, разложение [math]\displaystyle{ a }[/math] на сумму двух слагаемых [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ a-b }[/math] называется гармоническим делением или золотым сечением[4].

Задачи на тройное правило

В содержание задачи на простое тройное правило входят две величины, связанные пропорциональной зависимостью, при этом даются два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой величины, требуется же найти её второе значение.

Задачами на сложное тройное правило называют задачи, в которых по ряду нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений величин[5][6].

См. также

Примечания

  1. Топика Аристотеля
  2. Von Fritz, Kurt. «The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum». Annals of mathematics. — 1945. — S. 242—264.
  3. Пропорции арифметические // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  4. Гармоническая пропорция // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  5. Справочник по элементарной математике. Дата обращения: 8 января 2018. Архивировано 8 января 2018 года.
  6. Решение задач на простое тройное правило. Способы решения. Дата обращения: 8 января 2018. Архивировано 8 января 2018 года.

Литература

  • Ван дер Варден, Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. / пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М.: ГИФМЛ, 1959.