Тождество восьми квадратов

Тождество восьми квадратов — следующее тождество, выражающее произведение сумм восьми квадратов в виде суммы восьми квадратов:

[math]\displaystyle{ \begin{aligned}(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2+a_7^2+a_8^2)\cdot (b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2+b_5^2+b_6^2+b_7^2+b_8^2)= \\ =(a_1b_1 -a_2b_2 -a_3b_3 -a_4b_4 -a_5b_5 -a_6b_6 -a_7b_7 -a_8b_8)^2+ \\ +(a_2b_1 +a_1b_2 +a_4b_3 -a_3b_4 +a_6b_5 -a_5b_6 -a_8b_7 +a_7b_8)^2+ \\ +(a_3b_1 -a_4b_2 +a_1b_3 +a_2b_4 +a_7b_5 +a_8b_6 -a_5b_7 -a_6b_8)^2+ \\ +(a_4b_1 +a_3b_2 -a_2b_3 +a_1b_4 +a_8b_5 -a_7b_6 +a_6b_7 -a_5b_8)^2+ \\ +(a_5b_1 -a_6b_2 -a_7b_3 -a_8b_4 +a_1b_5 +a_2b_6 +a_3b_7 +a_4b_8)^2+ \\ +(a_6b_1 +a_5b_2 -a_8b_3 +a_7b_4 -a_2b_5 +a_1b_6 -a_4b_7 +a_3b_8)^2+ \\ +(a_7b_1 +a_8b_2 +a_5b_3 -a_6b_4 -a_3b_5 +a_4b_6 +a_1b_7 -a_2b_8)^2+ \\ +(a_8b_1 -a_7b_2 +a_6b_3 +a_5b_4 -a_4b_5 -a_3b_6 +a_2b_7 +a_1b_8)^2. \end{aligned} }[/math]

История

Впервые открытое датским математиком Фердинандом Дегеном^[en] около 1818 года, это замечательное тождество было переоткрыто дважды: Томасом Грейвсом^[en] в 1843 году и Артуром Кэли в 1845 году. Кэли вывел его, работая над обобщением кватернионов, названным октонионами. В алгебраических терминах тождество означает, что норма произведения двух октонионов равняется произведению их норм: [math]\displaystyle{ \|a\cdot b\| = \|a\|\cdot \|b\| }[/math].

Подобное утверждение верно для кватернионов («тождество четырёх квадратов»), комплексных чисел («тождество Диофанта — Брахмагупты — Фибоначчи») и действительных чисел. В 1898 году Адольф Гурвиц доказал, что ни для 16 (седенионы), ни для любого другого количества квадратов, кроме 1, 2, 4 и 8, подобного тождества не существует.

Ссылки

Degen’s eight-square identity (англ.)