Тождество четырёх квадратов

Тождество Эйлера о четырёх квадратах — разложение произведения сумм четырёх квадратов в сумму четырёх квадратов.

Формулировка

[math]\displaystyle{ \begin{align} & (a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)= \\ & =(a_1 b_1-a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2+ \\ & +\,(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2.\end{align} }[/math]

Это тождество выполняется для элементов любого коммутативного кольца. Однако если [math]\displaystyle{ a_i }[/math] и [math]\displaystyle{ b_i }[/math] — вещественные числа, тогда тождество может быть переформулировано в терминах кватернионов, а именно: модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей:

[math]\displaystyle{ |a\cdot b|= |a|\cdot |b| }[/math].

Аналогичные тождества

• «тождество одного квадрата»

[math]\displaystyle{ a^2\cdot b^2=(a b)^2 }[/math]

означает, что модуль произведения двух действительных чисел равен произведению модулей сомножителей:

[math]\displaystyle{ |ab|= |a||b| }[/math],

• «тождество двух квадратов» (т. н. тождество Брахмагупты)

[math]\displaystyle{ (a_1^2+a_2^2)\cdot(b_1^2+b_2^2)=(a_1b_1-a_2b_2)^2+(a_1b_2+a_2b_1)^2 }[/math]

означает, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей:

[math]\displaystyle{ |ab|= |a||b| }[/math],

• «тождество восьми квадратов» означает, что модуль произведения двух октонионов равен произведению модулей сомножителей:

  [math]\displaystyle{ |ab|= |a||b| }[/math].

Во всех этих случаях итоговые функции (чья сумма квадратов и равна произведению квадратов исходных сумм) есть билинейные функции исходных переменных.

Однако аналогичного «тождества шестнадцати квадратов» нет. Зато есть схожая (для 2^N квадратов, где N — любое натуральное число) существенно иная форма, уже лишь для рациональных функции исходных переменных — по теореме А. Пфистера.

История

Тождество было выведено Эйлером в 1750 году — почти за 100 лет до появления кватернионов.

Это тождество было использовано Лагранжем в доказательстве его теоремы о сумме четырёх квадратов.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера