Теорема об изменении количества движения системы
Теоре́ма об измене́нии коли́чества движе́ния (и́мпульса) систе́мы — одна из общих теорем динамики[1], является следствием законов Ньютона. Связывает количество движения с импульсом внешних сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел[2][3].
Формулировка теоремы
Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, — это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.
Теорема об изменении количества движения системы утверждает[2][3]:
Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.
Теорема допускает обобщение на случай неинерциальных систем отсчёта. В этом случае к внешним силам необходимо добавлять переносные и кориолисовы силы инерции[4].
Доказательство
Пусть система состоит из [math]\displaystyle{ N }[/math] материальных точек с массами [math]\displaystyle{ m_i }[/math] и ускорениями [math]\displaystyle{ \vec a_i }[/math]. Все силы, действующие на тела системы, разделим на два вида:
- Внешние силы — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i, обозначим [math]\displaystyle{ \vec F_i }[/math].
- Внутренние силы — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k, будем обозначать [math]\displaystyle{ \vec f_{i,k} }[/math], а силу воздействия i-й точки на k-ю точку — [math]\displaystyle{ \vec f_{k,i} }[/math]. Очевидно, что если [math]\displaystyle{ i=k }[/math], то [math]\displaystyle{ \vec f_{i,k}=0. }[/math]
Используя введённые обозначения, запишем второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек в виде
- [math]\displaystyle{ m_i \vec a_i=\vec F_i + \sum \limits_k \vec f_{i,k}. }[/math]
Учитывая, что [math]\displaystyle{ m_i \vec a_i =m_i\frac{d \vec v_i }{dt}=\frac{d (m_i \vec v_i) }{dt} }[/math], и суммируя все уравнения второго закона Ньютона, получаем:
- [math]\displaystyle{ \sum \limits_i \frac{d (m_i \vec v_i )}{dt} = \sum \limits_i \vec F_i + \sum \limits_i \sum \limits_k \vec f_{i,k}. }[/math]
Выражение [math]\displaystyle{ \sum \limits_i \sum \limits_k \vec f_{i,k} }[/math] представляет собой сумму всех внутренних сил, действующих в системе. По третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе [math]\displaystyle{ \vec f_{i,k} }[/math] соответствует сила [math]\displaystyle{ \vec f_{k,i} }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ \vec f_{i,k}=-\vec f_{k,i} }[/math] и, значит, выполняется [math]\displaystyle{ \vec f_{i,k}+\vec f_{k,i}=0. }[/math] Поскольку вся сумма состоит из таких пар, то и сама сумма равна нулю. Таким образом, можно записать
- [math]\displaystyle{ \sum \limits_i \frac{d (m_i \vec v_i) }{dt} = \sum \limits_i \vec F_i. }[/math]
Используя для количества движения системы [math]\displaystyle{ \sum \limits_i m_i \vec v_i }[/math] обозначение [math]\displaystyle{ \vec P }[/math], получим
- [math]\displaystyle{ \frac {d \vec P}{dt} = \sum \limits_i \vec F_i. }[/math]
Введя в рассмотрение изменение импульса внешних сил [math]\displaystyle{ d \vec R = \sum \limits_i \vec F_i dt }[/math], получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме:
- [math]\displaystyle{ d \vec P = d \vec R. }[/math]
Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.
Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми [math]\displaystyle{ t_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ t_2 }[/math], получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:
- [math]\displaystyle{ \vec P_2 - \vec P_1 = \vec R (t_2, t_1), }[/math]
где [math]\displaystyle{ \vec P_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \vec P_2 }[/math] — значения количества движения системы в моменты времени [math]\displaystyle{ t_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ t_2 }[/math] соответственно, а [math]\displaystyle{ \vec R (t_2, t_1) }[/math] — импульс внешних сил за промежуток времени [math]\displaystyle{ t_2 - t_1 }[/math]. В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями, выполняется
- [math]\displaystyle{ \vec R (t_2, t_1) = \sum \limits_i \int \limits_{t_1}^{t_2} \vec {F}_i(t) dt. }[/math]
Закон сохранения количества движения системы
Из теоремы об изменении количества движения системы следует, что в отсутствие внешних сил (замкнутая система), а также при равенстве суммы всех внешних сил нулю выполняется [math]\displaystyle{ d \vec P = 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \vec P_2 - \vec P_1 = 0 }[/math]. Иначе говоря, справедливо соотношение
- [math]\displaystyle{ \vec P = const. }[/math]
Таким образом, следует вывод:
Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то количество движения (импульс) системы есть величина постоянная.
Данное утверждение составляет содержание закона сохранения количества движения системы[2][3].
Возможны случаи, когда сумма внешних сил нулю не равна, но равна нулю её проекция на какое-либо направление. Тогда равно нулю и изменение проекции количества движения системы на это направление, то есть, как говорят, сохраняется количество движения в этом направлении.
Случай системы с идеальными стационарными связями
В тех случаях, когда предметом изучения является лишь движение системы, а реакции связей не представляют интереса, пользуются формулировкой теоремы для системы с идеальными стационарными связями, которая выводится с учетом принципа Даламбера-Лагранжа.
Теорема об изменении количества движения системы с идеальными стационарными связями утверждает[5]:
Если идеальные стационарные связи допускают в любой момент поступательное перемещение системы параллельно некоторой неподвижной оси [math]\displaystyle{ x }[/math], то производная по времени от проекции количества движения системы на ось [math]\displaystyle{ x }[/math] равна сумме проекций на ту же ось всех действующих на систему внешних активных сил.
«Активные» применительно к силам (ниже они помечены символом [math]\displaystyle{ ^a }[/math] в формулах) означает «не являющиеся реакциями связей».
Действительно, по условию, в любой момент все точки системы допускают смещение на [math]\displaystyle{ \delta x }[/math] параллельно неподвижной оси [math]\displaystyle{ x }[/math]. Заменяя в общем уравнении динамики [math]\displaystyle{ \delta \vec{r}_k }[/math] на [math]\displaystyle{ \vec{i} \delta x }[/math], получаем:
- [math]\displaystyle{ (\sum m_k \vec{w}_k ) \vec{i} \delta x = ( \sum \vec{F}_k ) \vec{i} \delta x }[/math]
или
- [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}(\sum m_k \vec{v}_k ) \vec{i} = ( \sum \vec{F}_k ) \vec{i} }[/math]
или
- [math]\displaystyle{ \frac{d\vec{P}}{dt} \vec{i} = ( \sum \vec{F}_k^a ) \vec{i} }[/math]
окончательно находим:
- [math]\displaystyle{ \frac{d\vec{P}}{dt} = \sum \vec{F}_{kx}^{ea} }[/math]
В предпоследнем уравнении в сумму активных сил [math]\displaystyle{ \vec{F}_k^a }[/math] включены внешние активные и внутренние активные силы. Однако геометрическая сумма внутренних активных сил, как попарно равных и противоположных, равна нулю, поэтому в окончательном уравнении представлены только внешние (введён добавочный значок [math]\displaystyle{ ^e }[/math] от англ. external) активные силы.
История
О законе сохранения количества движения Исаак Ньютон в своём знаменитом труде «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 году, писал: «Количество движения, получаемое беря сумму количеств движения, когда они совершаются в одну сторону, и разность, когда они совершаются в стороны противоположные, не изменяется от взаимодействия тел между собою»[6]. Комментатор, в связи с этой формулировкой, отмечает, что, хотя в ней рассматривается только случай движения тел по одной прямой, И. Ньютон, как показывают его другие высказывания в той же книге, в своих воззрениях этим частным случаем не ограничивался[6].
См. также
- Теорема о движении центра масс системы
- Теорема о кинетической энергии системы
- Теорема об изменении кинетического момента системы
Примечания
- ↑ Тарг С. М. Динамика // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 616—617. — 707 с. — 100 000 экз.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 280—284. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
- ↑ 3,0 3,1 3,2 Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М.: ЧеРО, 1999. — С. 157—159. — 572 с.
- ↑ Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение, 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 260
- ↑ 5,0 5,1 Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 221. — ISBN 5-06-003587-5
- ↑ 6,0 6,1 Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии = Philosophia naturalis principia matematica / Перевод с латинского и примечания А. Н. Крылова. — М.: Наука, 1989. — С. 45. — 688 с. — (Классики науки). — ISBN 5-02-000747-1.