Теорема вращения Эйлера

Теорема вращения Эйлера утверждает, что любое движение твёрдого тела в трёхмерном пространстве, имеющее неподвижную точку, является вращением тела вокруг некоторой оси. Таким образом, вращение может быть описано тремя координатами: двумя координатами оси вращения (например, широта и долгота) и углом поворота.

Для заданного угла [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] и единичного вектора [math]\displaystyle{ n }[/math] обозначим [math]\displaystyle{ R(\varphi,n) }[/math] вращение в направлении вектора n против часовой стрелки на угол [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]. Тогда:

[math]\displaystyle{ R(0,n) }[/math] — тождественное отображение для любого [math]\displaystyle{ n }[/math]
[math]\displaystyle{ R(\varphi,n) = R(-\varphi,-n) }[/math]
[math]\displaystyle{ R(\pi + \varphi,n) = R(\pi -\varphi,-n) }[/math]

Для любого вращения существует единственный угол [math]\displaystyle{ \varphi }[/math], для которого [math]\displaystyle{ 0 \le \varphi \le \pi }[/math], при этом:

[math]\displaystyle{ n }[/math] определяется однозначно, если [math]\displaystyle{ 0 \lt \varphi \lt \pi }[/math];
[math]\displaystyle{ n }[/math] любое, [math]\displaystyle{ \varphi = 0 }[/math];
[math]\displaystyle{ n }[/math] определяется однозначно с точностью до знака, если [math]\displaystyle{ \varphi = \pi }[/math] (то есть, вращения [math]\displaystyle{ R(\varphi,\pm n) }[/math] одинаковы).

Геометрия группы вращений

Представление Эйлера позволяет исследовать топологию группы вращений трёхмерного пространства (группы SO(3)). Для этого рассмотрим шар с центром в начале координат с радиусом π.

Любое вращение на угол, меньший π, задаёт единственную точку внутри шара (направление задаёт направление оси вращения, а угол задаёт расстояние от начала координат). Вращение на угол π соответствует двум противоположным точкам на поверхности сферы.

Таким образом, шар с отождествлёнными противоположными точками сферы гомеоморфен группе SO(3).

См. также