Теорема Эрдёша — Радо

Теорема Эрдёша — Радо — обобщениние теоремы Рамсея на несчётные множества. Названа в честь Пала Эрдёша и Ричарда Радо. Ранее Джюро Курепа доказал эту теорему в предположении обобщённой Континуум-гипотезы.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ r }[/math] — конечно и [math]\displaystyle{ \kappa }[/math] — бесконечный кардинал. Тогда для любой раскраски [math]\displaystyle{ (r+1) }[/math]-точечных подмножеств множества мощности [math]\displaystyle{ \exp_r(\kappa)^+ }[/math], в [math]\displaystyle{ \kappa }[/math] цветов существует монохроматическое подмножество мощности [math]\displaystyle{ \kappa^+ }[/math].

Замечания

• [math]\displaystyle{ \kappa^+ }[/math] обозначает следующее за [math]\displaystyle{ \kappa }[/math] кардинальное число.
• [math]\displaystyle{ \exp_r(\kappa) }[/math] определяется индуктивно [math]\displaystyle{ \exp_0(\kappa)=\kappa }[/math] и [math]\displaystyle{ \exp_{r+1}(\kappa)=2^{\exp_r(\kappa)} }[/math].

Литература

• Erdős, P.; Hajnal, A.; Máté, A. & Rado, R. (1984), Combinatorial set theory: partition relations for cardinals, vol. 106, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-86157-2 
• Erdős, P. & Rado, R. (1956), A partition calculus in set theory., Bull. Amer. Math. Soc. Т. 62 (5): 427–489, doi:10.1090/S0002-9904-1956-10036-0, <https://www.ams.org/bull/1956-62-05/S0002-9904-1956-10036-0/>