Континуум-гипотеза
Конти́нуум-гипо́теза (проблема континуума, первая проблема Гильберта) — выдвинутое в 1877 году Георгом Кантором предположение о том, что любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Другими словами, гипотеза предполагает, что мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет. В частности, это предположение означает, что для любого бесконечного множества действительных чисел всегда можно установить взаимно-однозначное соответствие либо между элементами этого множества и множеством целых чисел, либо между элементами этого множества и множеством всех действительных чисел.
Первые попытки доказательства этого утверждения средствами наивной теории множеств не увенчались успехом, в дальнейшем показана невозможность доказать или опровергнуть гипотезу в аксиоматике Цермело — Френкеля (как с аксиомой выбора, так и без неё).
Континуум-гипотеза однозначно доказывается в системе Цермело — Френкеля с аксиомой детерминированности (ZF+AD).
История
Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.
В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им метода форсинга[англ.] доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC[1]. Оба эти результата опираются на предположение о непротиворечивости ZFC, причём оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.
В предположении отрицания континуум-гипотезы [math]\displaystyle{ \mathrm {ZFC+\neg CH} }[/math] имеет смысл задавать вопрос: для каких ординалов [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] может выполняться равенство [math]\displaystyle{ \mathfrak c=\aleph_\alpha }[/math]? Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году теорема Истона[англ.].
Эквивалентные формулировки
Известно несколько утверждений, эквивалентных континуум-гипотезе:
- Прямая [math]\displaystyle{ \R }[/math] может быть раскрашена в счётное количество цветов так, что ни для какой одноцветной четвёрки чисел [math]\displaystyle{ a, b, c, d }[/math] не выполняется условие [math]\displaystyle{ a + b = c + d }[/math][2].
- Плоскость [math]\displaystyle{ \R^2 }[/math] может быть полностью покрыта счётным семейством множеств, каждое из которых имеет вид [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math] (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или [math]\displaystyle{ x=f(y) }[/math] (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой)[3].
- Пространство [math]\displaystyle{ \R^3 }[/math] можно разбить на 3 множества так, что они пересекаются с любой прямой, параллельной осям [math]\displaystyle{ Ox }[/math], [math]\displaystyle{ Oy }[/math] и [math]\displaystyle{ Oz }[/math], соответственно, лишь в конечном числе точек (каждому множеству соответствует своя ось)[4].
- Пространство [math]\displaystyle{ \R^3 }[/math] можно разбить на 3 множества так, что для каждого из них существует такая точка [math]\displaystyle{ P }[/math], что это множество пересекается с любой прямой, проходящей через [math]\displaystyle{ P }[/math], лишь в конечном числе точек[5].
Вариации и обобщения
Обобщённая континуум-гипотеза заключается в предположении, что для любого бесконечного кардинала [math]\displaystyle{ \kappa }[/math] выполняется равенство [math]\displaystyle{ 2^{\kappa}=\kappa^+ }[/math]; где [math]\displaystyle{ \kappa^+ }[/math] обозначает следующий за [math]\displaystyle{ \kappa }[/math] кардинал. Другими словами, в любом множестве, превосходящем по мощности некоторое бесконечное множество [math]\displaystyle{ S }[/math], найдётся подмножество, равномощное булеану [math]\displaystyle{ \mathcal P (S) }[/math][6].
Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 году и Шпеккер в 1952 году, из неё следует аксиома выбора.
См. также
Примечания
- ↑ Пол Дж. Коэн Теория множеств и континуум-гипотеза. — М.: Мир, 1969. — С. 347.
- ↑ Stephen Fenner, William Gasar. Statement in Combinatorics that is Independent of ZFC (An Exposition) Архивная копия от 27 ноября 2021 на Wayback Machine (англ.)
- ↑ Вацлав Серпинский. Cardinal And Ordinal Numbers. — Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1965. (англ.)
- ↑ Вацлав Серпинский. О теории множеств. — М.: Просвещение, 1966.
- ↑ Архивированная копия. Дата обращения: 9 июля 2012. Архивировано 18 февраля 2013 года.
- ↑ Континуума проблема / А. Г. Драгалин // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
Литература
- Катин Ю. Е. Из истории проблемы континуума // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1970. — Вып. 9. — С. 248—261.
- Манин Ю. И. Проблема континуума // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения.». — 1975. — № 5. — С. 5—72. — ISSN 0202-747X.
