Мера иррациональности

Мера иррациональности действительного числа [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — это действительное число [math]\displaystyle{ \mu }[/math], показывающее, насколько хорошо [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] может быть приближено рациональными числами.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — действительное число, и пусть [math]\displaystyle{ M(\alpha) }[/math] — множество всех чисел [math]\displaystyle{ \mu }[/math] таких, что неравенство [math]\displaystyle{ 0\lt \left|\alpha-\frac{p}{q}\right|\lt \frac{1}{q^{\mu}} }[/math] имеет лишь конечное число решений в целых числах [math]\displaystyle{ p }[/math] и [math]\displaystyle{ q\gt 0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ M(\alpha)=\left\{\mu\gt 0\colon(\exists q_0=q_0(\mu,\;\alpha))\;(\forall p,\;q\in\Z)\;q\gt q_0\Rightarrow\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|\gt \frac{1}{q^{\mu}}\lor\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|=0\right\}. }[/math]

Тогда мера иррациональности [math]\displaystyle{ \mu(\alpha) }[/math] числа [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] определяется как точная нижняя грань [math]\displaystyle{ M(\alpha) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \mu(\alpha)=\inf M(\alpha). }[/math]

Если [math]\displaystyle{ M(\alpha)=\varnothing }[/math], то полагают [math]\displaystyle{ \mu(\alpha)=+\infty }[/math].

Другими словами, [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — наименьшее число, такое, что для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] для всех рациональных приближений [math]\displaystyle{ \frac{p}{q} }[/math] с достаточно большим знаменателем верно, что [math]\displaystyle{ \left|\alpha-\frac{p}{q}\right|\gt \frac{1}{q^{\mu+\varepsilon}} }[/math].

Возможные значения меры иррациональности

• [math]\displaystyle{ \mu(\alpha) = 1 }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — рациональное число.
• Если [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — алгебраическое иррациональное число, то [math]\displaystyle{ \mu(\alpha) = 2 }[/math].
• Если [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — трансцендентное число, то [math]\displaystyle{ \mu(\alpha)\geqslant 2 }[/math]. В частности, если [math]\displaystyle{ \mu(\alpha) = +\infty }[/math], то число [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] называют лиувиллевым числом.

Связь с цепными дробями

Если [math]\displaystyle{ \alpha=[a_0;\;a_1,\;a_2,\;\ldots] }[/math] — разложение числа [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] в цепную дробь, и [math]\displaystyle{ \frac{p_n}{q_n} }[/math] — [math]\displaystyle{ n }[/math]-ая подходящая цепная дробь, то

[math]\displaystyle{ \mu(\alpha)=1+\limsup\limits_{n\to+\infty}\frac{\ln q_{n+1}}{\ln q_n}=2+\limsup\limits_{n\to+\infty}\frac{\ln a_{n+1}}{\ln q_n}. }[/math]

С помощью этой формулы особенно легко найти меру иррациональности для квадратичных иррациональностей, поскольку разложения их в цепные дроби периодичны. Например, для золотого сечения [math]\displaystyle{ \varphi=[1;\;1,\;1,\;\ldots] }[/math], и тогда [math]\displaystyle{ \mu(\varphi)=2 }[/math].

Теорема Туэ — Зигеля — Рота

По лемме Дирихле, если [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] иррационально, то существует бесконечное количество таких p и q, что [math]\displaystyle{ \left|\alpha-\frac{p}{q}\right|\lt \frac{1}{q^2} }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \mu(\alpha)\geqslant 2 }[/math]. В 1844 году Лиувиллем была доказана теорема о том, что для любого алгебраического числа [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] степени [math]\displaystyle{ n }[/math] можно подобрать константу [math]\displaystyle{ c=c(\alpha) }[/math] такую, что [math]\displaystyle{ \left|\alpha-\frac{p}{q}\right|\geqslant\frac{c}{q^n} }[/math]. В 1908 году Туэ усилил эту оценку. Дальнейшие результаты в этом направлении получили Зигель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Наиболее точная оценка была доказана Ротом в 1955 году, полученную теорему называют теоремой Туэ — Зигеля — Рота. Она утверждает, что если [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — алгебраическое иррациональное число, то [math]\displaystyle{ \mu(\alpha)=2 }[/math]. За это доказательство Рот получил Филдсовскую премию.

Мера иррациональности некоторых трансцендентных чисел

Для почти всех трансцендентных чисел мера иррациональности равна 2. Хорошо известно, что [math]\displaystyle{ \mu\left(e\right)=2 }[/math], а также известны числа Лиувилля, которые по определению имеют бесконечную меру иррациональности. Однако для многих других трансцендентных констант мера иррациональности неизвестна, в лучшем случае известна некоторая оценка сверху. Например:

• [math]\displaystyle{ \mu\left(\pi\right)\leqslant 7{,}103205334137 }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mu\left(\zeta\left(3\right)\right)\leqslant 5{,}513891 }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mu\left(\ln 3\right)\leqslant 5{,}116201 }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mu\left(\pi^2\right)\leqslant 5{,}09541179 }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mu\left(\frac{\pi}{\sqrt{3}}\right)\leqslant 4{,}230464 }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mu\left(\ln 2\right)\leqslant 3{,}57455391 }[/math]

См. также

• Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
• Цепная дробь

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Irrationality Measure (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.