Теорема Томсена

Теорема Томсена, названная именем немецкого математика Герхарда Томсена^[en], — это теорема элементарной геометрии, согласно которой определённая ломаная, построенная из отрезков, которые параллельны сторонам треугольника, всегда завершается в начальной точке.

Формулировка

Рассмотрим произвольный треугольник [math]\displaystyle{ ABC }[/math] с точкой [math]\displaystyle{ P_1 }[/math] на стороне [math]\displaystyle{ BC }[/math]. Последовательность точек и параллельных прямых строится следующим образом: параллельная стороне [math]\displaystyle{ AC }[/math] прямая через точку [math]\displaystyle{ P_1 }[/math] пересекает сторону [math]\displaystyle{ AB }[/math] в точке [math]\displaystyle{ P_2 }[/math], а параллельная стороне [math]\displaystyle{ BC }[/math] прямая, проходящая через точку [math]\displaystyle{ P_2 }[/math], пересекает сторону[math]\displaystyle{ AC }[/math] в точке [math]\displaystyle{ P_3 }[/math]. Продолжим аналогичное построение. Параллельная стороне [math]\displaystyle{ AB }[/math] прямая через точку [math]\displaystyle{ P_3 }[/math] пересекает сторону [math]\displaystyle{ BC }[/math] в точке [math]\displaystyle{ P_4 }[/math], а параллельная стороне [math]\displaystyle{ AC }[/math] прямая через точку [math]\displaystyle{ P_4 }[/math] пересекает сторону [math]\displaystyle{ AB }[/math] в точке [math]\displaystyle{ P_5 }[/math]. Наконец, параллельная стороне [math]\displaystyle{ BC }[/math] прямая через точку [math]\displaystyle{ P_5 }[/math] пересекает сторону [math]\displaystyle{ AC }[/math] в точке [math]\displaystyle{ P_6 }[/math], а параллельная стороне [math]\displaystyle{ AB }[/math] прямая через точку [math]\displaystyle{ P_6 }[/math] пересекает сторону [math]\displaystyle{ BC }[/math] в точке [math]\displaystyle{ P_7 }[/math]. Теорема Томсена утверждает, что точки [math]\displaystyle{ P_7 }[/math] и [math]\displaystyle{ P_1 }[/math] совпадают, поэтому построение всегда приводит к замкнутому пути [math]\displaystyle{ P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_1 }[/math].

Доказательство

Наличие в условии теоремы большого числа различных пар параллельных прямых, пересекающих стороны треугольника, даёт возможность многократного использования теоремы Фалеса о пропорциональных отрезках, из которой следуют соотношения:

[math]\displaystyle{ P_5 P_6 \parallel BC \Longrightarrow \dfrac{AP_6}{AC} = \dfrac{AP_5}{AB}, }[/math]

[math]\displaystyle{ P_4 P_5 \parallel CA \Longrightarrow \dfrac{AP_5}{AB} = \dfrac{CP_4}{CB}, }[/math]

[math]\displaystyle{ P_3 P_4 \parallel AB \Longrightarrow \dfrac{CP_4}{CB} = \dfrac{CP_3}{CA}, }[/math]

[math]\displaystyle{ P_2 P_3 \parallel BC \Longrightarrow \dfrac{CP_3}{CA} = \dfrac{BP_2}{BA}, }[/math]

[math]\displaystyle{ P_1 P_2 \parallel CA \Longrightarrow \dfrac{BP_2}{BA} = \dfrac{BP_1}{BC}. }[/math]

Таким образом, [math]\displaystyle{ \dfrac{AP_6}{AC} = \dfrac{BP_1}{BC} }[/math]. Отсюда, по теореме, обратной к теореме Фалеса, получаем, что [math]\displaystyle{ P_6 P_1 \parallel AB }[/math]. Но по условию [math]\displaystyle{ P_6 P_7 \parallel AB }[/math]. Поэтому [math]\displaystyle{ P_1 = P_7 }[/math].

См. также

Треугольник

Литература

Satz von Thomsen // Schülerduden – Mathematik II. — Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus, 2004. — С. 358–359. — ISBN 3-411-04275-3. (Немецкий язык)

Ссылки

Darij Grinberg: Schließungssätze in der ebenen Geometrie (Немецкий язык)
Weisstein, Eric W. Thomsen's Figure (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.