Теорема Софи Жермен

Исследуя Великую теорему Ферма, Софи Жермен доказала следующую теорему:

Если [math]\displaystyle{ p }[/math] — простое число, а для простого числа [math]\displaystyle{ q }[/math] верны следующие 2 условия: 1). Среди остатков от деления [math]\displaystyle{ p }[/math]-ых степеней на [math]\displaystyle{ q }[/math] нет соседних, кроме нуля и единицы. 2). Число [math]\displaystyle{ p }[/math] не является [math]\displaystyle{ p }[/math]-ой степенью по модулю [math]\displaystyle{ q }[/math]. Тогда для показателя [math]\displaystyle{ p }[/math] справедлив первый случай теоремы Ферма (уравнение [math]\displaystyle{ x^p+y^p=z^p }[/math] неразрешимо в натуральных [math]\displaystyle{ x,y,z }[/math], где [math]\displaystyle{ xyz }[/math] не делится на [math]\displaystyle{ p }[/math])

В частности, если [math]\displaystyle{ p }[/math] и [math]\displaystyle{ 2p+1 }[/math] просты (при этом [math]\displaystyle{ p }[/math] называется числом Софи Жермен), то для [math]\displaystyle{ p }[/math] справедлив первый случай теоремы Ферма.

Доказательство

Пусть [math]\displaystyle{ x^p+y^p=z^p }[/math], но [math]\displaystyle{ x,y,z }[/math] взаимно просты с q. Тогда найдём такое [math]\displaystyle{ n, }[/math] для которого [math]\displaystyle{ nx\equiv 1(\bmod q). }[/math] При этом [math]\displaystyle{ (nx)^p+(ny)^p=(nz)^p, }[/math] и [math]\displaystyle{ (nz)^p\equiv (ny)^p+1, }[/math] и [math]\displaystyle{ x,y }[/math] или [math]\displaystyle{ z }[/math] делятся на [math]\displaystyle{ q. }[/math]

Полезно иметь в виду, что любая [math]\displaystyle{ p }[/math]-ая степень [math]\displaystyle{ \xi }[/math] по модулю [math]\displaystyle{ q=2mp+1 }[/math] удовлетворяет сравнению

[math]\displaystyle{ \xi^{2m}\equiv 1 \pmod{p} }[/math]

Действительно, если [math]\displaystyle{ \xi=a^l \pmod{p} }[/math], где [math]\displaystyle{ a\not\equiv 0 \pmod{p} }[/math], то по малой теореме Ферма [math]\displaystyle{ \xi^{2m}\equiv a^{2ml}\equiv a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p} }[/math]

При [math]\displaystyle{ m=1 }[/math] для любого простого [math]\displaystyle{ p }[/math] существует только 2 несравнимых числа ξ , удовлетворяющих сравнению [math]\displaystyle{ \xi^{2}\equiv 1 \pmod{p} }[/math], а именно числа [math]\displaystyle{ 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ -1\equiv p-1 \pmod{p} }[/math]

Поскольку 1 и -1 не являются соседними [math]\displaystyle{ l }[/math]-ыми степенями по модулю [math]\displaystyle{ p }[/math], следовательно Условие 2 для [math]\displaystyle{ m=1 }[/math] выполняется автоматически

Поскольку [math]\displaystyle{ l^2-1=(l+1)(l-1) }[/math] не может делиться на простое число [math]\displaystyle{ 2l+1\gt l+1 }[/math], то при [math]\displaystyle{ m=1 }[/math] Условие 3 также выполнено

Следствие Лежандра.

Первый случай теоремы Ферма справедлив для простого показателя [math]\displaystyle{ l }[/math], если хотя бы одно из пяти чисел:

[math]\displaystyle{ 4l+1 , 8l+1 , 10l+1 , 14l+1 , 16l+1 }[/math]

является простым числом

Следствие Вендта.

Первый случай теоремы Ферма справедлив для простого показателя [math]\displaystyle{ l }[/math], если существует такое [math]\displaystyle{ m\geq1 }[/math], что:

1). Число [math]\displaystyle{ p=2ml+1 }[/math] является простым числом, не делящим числа [math]\displaystyle{ D_m }[/math]

2). Число [math]\displaystyle{ l^{2m}-1 }[/math] не делится на [math]\displaystyle{ p }[/math]

Число [math]\displaystyle{ D_m }[/math] допускает 3 равнозначных определения:

а). [math]\displaystyle{ D_m=(-1)^m\prod _{j=1}^{2m-1}[(1+\xi^j)-1] }[/math], где [math]\displaystyle{ \xi=\cos {\pi \over m}+i \sin{\pi\over m} }[/math]

б). [math]\displaystyle{ D_m }[/math] является определителем матрицы:

[math]\displaystyle{ \left( \begin{smallmatrix} C_1^{2m} & C^{2m}_2 & ... & C^{2m}_{2m-1} & C^{2m}_{2m} \\ C^{2m}_2 & C^{2m}_3 & ... & C^{2m}_{2m} & C^{2m}_1 \\ ...&...&...&...&...\\ C^{2m}_{2m} & C^{2m}_1 & ... & C^{2m}_{2m-2} & C^{2m}_{2m-1} \end{smallmatrix} \right) }[/math]

в). [math]\displaystyle{ D_m }[/math] представляет собой т.н. результант многочленов [math]\displaystyle{ x^{2m}-1 }[/math] и [math]\displaystyle{ (x+1)^{2m}-1 }[/math]

Итальянские историки математики А. Чентина и А. Фьокка, исследовавшие письменное наследие С. Жермен, пришли к выводу, что её вклад в доказательство большой теоремы Ферма не ограничивается только теоремой Жермен, а простирается намного дальше.