Результант
В математике, результантом двух многочленов [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math] над некоторым полем [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math], старшие коэффициенты которых равны единице, называется выражение
- [math]\displaystyle{ \mathrm{res}(P,Q) = \prod_{(x,y):\,P(x)=0,\, Q(y)=0} (x-y), }[/math]
иными словами, это произведение попарных разностей между их корнями. Произведение здесь берётся по всем корням в алгебраическом замыкании поля [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math] с учётом их кратностей; поскольку получающееся выражение является симметрическим многочленом от корней многочленов [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math] (лежащих, быть может, вне поля [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math]), оно тем самым оказывается многочленом от коэффициентов [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Для многочленов, старшие коэффициенты которых ([math]\displaystyle{ p }[/math] и [math]\displaystyle{ q }[/math] соответственно) не обязательно равны 1, вышеупомянутое выражение умножается на
- [math]\displaystyle{ p^{\deg Q} q^{\deg P}. }[/math]
Свойства и способы вычисления
- Основным свойством результанта (и его основным применением) является следующее: результант — многочлен от коэффициентов [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math], равный нулю в том и только в том случае, когда у многочленов [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math] имеется общий корень (возможно, в некотором расширении поля [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math]).
- Результант может быть найден как определитель матрицы Сильвестра.
- Дискриминант — это, с точностью до знака, результант многочлена и его производной, поделённый на старший коэффициент многочлена; тем самым, дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда у многочлена есть кратные корни.
- [math]\displaystyle{ \mathrm{res}(P_1P_2,Q) = \mathrm{res}(P_1,Q)\mathrm{res}(P_2,Q) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathrm{res}(P,\operatorname{const}) = \operatorname{const}^{\deg P} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathrm{res}(AP(x),BQ(x)) = A^{\deg Q}B^{\deg P}\mathrm{res}(P(x),Q(x)) }[/math]
- Если [math]\displaystyle{ A,C\neq 0, \deg (AP(x)+BQ(x))=\deg (CP(x)+DQ(x))=n \geqslant 1 }[/math], то
- [math]\displaystyle{ \mathrm{res}(AP(x)+BQ(x),CP(x)+DQ(x)) = (AD-BC)^n\mathrm{res}(P(x),Q(x)) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathrm{res}(P,Q) = 0 \Leftrightarrow \deg\gcd(P,Q)\geqslant 1 }[/math], т.е. результант тогда и только тогда равен нулю, когда НОД многочленов нетривиален. Вообще, вычисление результанта может быть произведено с помощью алгоритма Евклида, и именно так вычисляется результант в различных матпакетах.
- Для многочленов [math]\displaystyle{ P(x),Q(x) }[/math] существуют многочлены [math]\displaystyle{ U(x),V(x) }[/math] с [math]\displaystyle{ \deg{U}\leqslant \deg{P}-1,\deg{V}\leqslant \deg{Q}-1 }[/math] такие, что
- [math]\displaystyle{ \mathrm{res}(P(x),Q(x))=P(x)V(x)+Q(x)U(x) }[/math]. Многочлены [math]\displaystyle{ U(x),V(x) }[/math] с [math]\displaystyle{ m=\deg U,n=\deg V }[/math] могут быть получены из представления результанта определителем в форме Сильвестра, в котором последний столбец заменен на [math]\displaystyle{ (x^m,...,x,1,0,...,0)^T }[/math] для [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] или на [math]\displaystyle{ (0,...,0,x^n,...,x,1)^T }[/math] для [math]\displaystyle{ V(x) }[/math].
- Для сепарабельного многочлена (в частности, для полей характеристики нуль) результант равен произведению значений одного из многочленов по корням другого (как и раньше, произведение берётся с учётом кратности корней):
- [math]\displaystyle{ \mathrm{res}(P,Q) = \prod_{P(x)=0} Q(x). }[/math]
Литература
- Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.
- Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения. — СПбГУ, НИИ химии, 2002.