Теорема Прота

В теории чисел теорема Прота является тестом простоты для чисел Прота.

Формулировка

Теорема Прота гласит:

Если p — это число Прота вида [math]\displaystyle{ k\cdot 2^n + 1 }[/math], где k — нечётно и [math]\displaystyle{ k \lt 2^n }[/math], то p — простое (называемое простым Прота) тогда и только тогда, когда для некоторого квадратичного невычета a выполняется сравнение: [math]\displaystyle{ a^{(p-1)/2}\equiv -1 \pmod{p} }[/math]

Доказательство

(а) Пусть p — простое. Тогда для любого квадратичного невычета a: [math]\displaystyle{ a^{(p-1)/2}\equiv -1 \pmod{p} }[/math] по критерию Эйлера.

(б) Пусть [math]\displaystyle{ a^{(p-1)/2}\equiv -1 \pmod{p} }[/math] для некоторого квадратичного невычета a. Используем критерий Поклингтона, где [math]\displaystyle{ n=2^k+1 }[/math] . Тогда [math]\displaystyle{ q=2 }[/math] — единственный простой делитель [math]\displaystyle{ n-1 }[/math]. Проверим выполнение условий критерия:

1. [math]\displaystyle{ a^{n-1} =(a^{(n-1)/2})^2 \equiv 1 \pmod n }[/math] — выполнено.
2. числа n и [math]\displaystyle{ a^{(n-1)/q} -1 }[/math] взаимно просты — выполнено.

Так как условие [math]\displaystyle{ 2^k \gt \sqrt {n} -1 }[/math] выполнено, n — простое.

Тестирование чисел Прота на простоту

Теорема Прота может быть использована для тестирования простоты чисел Прота. Алгоритм вероятностного теста, основанного на теореме, выглядит следующим образом: Случайным образом выбирается целое число [math]\displaystyle{ a }[/math], такое что [math]\displaystyle{ a \not \equiv 1 \pmod{p}\ }[/math] и вычисляет [math]\displaystyle{ b \equiv a^{(p-1)/2} \pmod{p}\ }[/math]. Возможны следующие исходы:

1. [math]\displaystyle{ b \equiv -1 \pmod{p}\ }[/math], тогда [math]\displaystyle{ p }[/math] — простое по теорема Прота.
2. [math]\displaystyle{ b \not \equiv \pm 1 \pmod{p}\ }[/math] и [math]\displaystyle{ b^2 \equiv 1 \pmod{p}\ }[/math], тогда [math]\displaystyle{ p }[/math] — составное, так как [math]\displaystyle{ gcd (b \pm 1, p) }[/math] — нетривиальные делители [math]\displaystyle{ p }[/math].
3. [math]\displaystyle{ b^2 \not \equiv 1 \pmod{p}\ }[/math], тогда p — составное по малой теореме Ферма.
4. [math]\displaystyle{ b \equiv 1 \pmod{p}\ }[/math], тогда результат теста неизвестен.

Исход (4) является причиной того, что тест вероятностный. В случае (1) [math]\displaystyle{ a }[/math] — квадратичный невычет по модулю [math]\displaystyle{ p }[/math]. Процедура повторяется пока простота [math]\displaystyle{ p }[/math] не будет установлена. Если [math]\displaystyle{ p }[/math] — простое, то тест с вероятностью [math]\displaystyle{ 1/2 }[/math] подтвердит это за одну итерацию, так как количество квадратичных невычетов по модулю [math]\displaystyle{ p }[/math] ровно [math]\displaystyle{ (p-1)/2 }[/math].

Примеры

• для p = 3, 2 ¹ + 1 = 3 кратно 3, поэтому 3 является простым.
• для p = 5, 3 ² + 1 = 10 кратно 5, поэтому 5 является простым.
• p = 13, 5 ⁶ + 1 = 15626 делится на 13, 13 является простым.
• для p = 9, которая не является простым, не существует b таких что a ⁴ + 1 делится на 9.

Простые числа Прота

Простые числа Прота образуют последовательность:

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153 … (последовательность A080076 в OEIS)

На май 2017 года, крупнейшее известное простое Прота, 10223 · 2^31172165 + 1, найдено проектом Primegrid. Оно имеет 9383761 десятичных цифр и является крупнейшим известным простым, не являющимся простым Мерсенна.

Обобщенная теорема Прота

Лемма. Пусть [math]\displaystyle{ n = l^k }[/math] для некоторого простого l и [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ r^e }[/math] — степень простого числа, где [math]\displaystyle{ r \ne l }[/math]. Если [math]\displaystyle{ r^e \mathcal {j} \phi(n) }[/math] и [math]\displaystyle{ r^e\gt \sqrt n }[/math], то n — простое.

Доказательство. [math]\displaystyle{ r^e }[/math] — делитель [math]\displaystyle{ \phi(n) = (l-1) l ^ {k-1} }[/math], поэтому [math]\displaystyle{ r^e \mathcal {j} l -1 }[/math]. Если [math]\displaystyle{ k \gt 1 }[/math], то [math]\displaystyle{ \phi(n) \geqslant (l-1)l \gt r^2e \gt n }[/math] — противоречие. Следовательно [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math] — простое.

Теорема (обобщенная теорема Прота). Пусть [math]\displaystyle{ N=r^{e}t + 1 }[/math] для некоторого простого [math]\displaystyle{ r }[/math] и целых [math]\displaystyle{ e,t\geqslant 1 }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ r^e \gt t }[/math]. Если [math]\displaystyle{ a^{N-1} \equiv 1 (mod N) }[/math] и [math]\displaystyle{ a^{(N-1)/r} \not \equiv 1 (mod N) }[/math] для некоторого целого [math]\displaystyle{ a }[/math], то [math]\displaystyle{ N }[/math] — простое.

Доказательство обобщенной теоремы можно найти в работе Sze.

История

Франсуа Прот (1852—1879) опубликовал теорему около 1878 года.

См. также

• Число Серпинского

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Proth's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• «Обзор проверок на простоту», Кучин, 2005
• Sze, T.W. On Solving Univariate Polynomial Equations Over Finite Fields and Some Related Problems. — University of Maryland, College Park, 2007. — ISBN 9780549451037.