Теорема Пойнтинга

Теорема Пойнтинга (англ. Poynting's theorem) — теорема, описывающая закон сохранения энергии электромагнитного поля. Теорема была доказана в 1884 году Джоном Генри Пойнтингом. Всё сводится к следующей формуле:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{S} = -\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ u }[/math] — плотность энергии: [math]\displaystyle{ u = \frac{1}{2}\left(\varepsilon_0 \mathbf{E}^2 + \frac{\mathbf{B}^2}{\mu_0}\right) }[/math];

[math]\displaystyle{ \varepsilon_0 }[/math] — электрическая постоянная, [math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math] — магнитная постоянная;

[math]\displaystyle{ \nabla }[/math] — оператор набла; S — вектор Пойнтинга;

J — плотность тока и E — напряженность электрического поля.

Теорема Пойнтинга в интегральной форме:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t} \int_V u \ dV + \oint_{\partial V}\mathbf{S} \ d\mathbf{A} = -\int_V\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} \ dV }[/math],

где [math]\displaystyle{ \partial V }[/math] — поверхность, ограничивающая объём [math]\displaystyle{ V }[/math] .

В технической литературе теорема обычно записывается так ([math]\displaystyle{ u }[/math] — плотности энергии):

[math]\displaystyle{ \nabla\cdot\mathbf{S} + \varepsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0 }[/math],

где [math]\displaystyle{ \varepsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} }[/math] — плотность энергии электрического поля, [math]\displaystyle{ \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} }[/math] — плотность энергии магнитного поля и [math]\displaystyle{ \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} }[/math] — мощность джоулевых потерь в единице объёма.

Вывод

Теорема может быть выведена с помощью двух уравнений Максвелла (для простоты считаем, что среда - вакуум (μ=1, ε=1); для общего случая с произвольной средой, нужно в формулы к каждому ε₀ и μ₀ приписать ε и μ):

[math]\displaystyle{ \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}. }[/math]

Домножив обе части уравнения на [math]\displaystyle{ \mathbf{B} }[/math], получим:

[math]\displaystyle{ \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = - \mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}. }[/math]

Рассмотрим сначала уравнение Максвелла-Ампера:

[math]\displaystyle{ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. }[/math]

Домножив обе части уравнения на [math]\displaystyle{ \mathbf{E} }[/math], получим:

[math]\displaystyle{ \mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \mathbf{E} \cdot \mu_0 \mathbf{J} + \mathbf{E} \cdot \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. }[/math]

Вычитая первое из второго, получим:

[math]\displaystyle{ \mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) - \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = \mu_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + \varepsilon_0 \mu_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}. }[/math]

Наконец:

[math]\displaystyle{ - \nabla\cdot \ ( \mathbf{E} \times \mathbf{B} ) = \mu_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + \varepsilon_0 \mu_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}. }[/math]

Поскольку вектор Пойнтинга [math]\displaystyle{ \mathbf{S} }[/math] определяется как:

[math]\displaystyle{ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} }[/math]

это равносильно:

[math]\displaystyle{ \nabla\cdot\mathbf{S} + \varepsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0. }[/math]

Обобщение

Механическая энергия описанной выше теоремы

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t} u_m(\mathbf{r},t) + \nabla\cdot \mathbf{S}_m (\mathbf{r},t) = \mathbf{J}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r},t), }[/math]

где u_m — кинетическая энергия плотности в системе. Она может быть описана как сумма кинетической энергии частиц α

[math]\displaystyle{ u_m(\mathbf{r},t) = \sum_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{2} \dot{r}^2_{\alpha} \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\alpha}(t)), }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{S_m} }[/math] — поток энергии, или «механический вектор Пойнтинга»:

[math]\displaystyle{ \mathbf{S}_m (\mathbf{r},t) = \sum_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{2} \dot{r}^2_{\alpha}\dot{\mathbf{r}}_{\alpha} \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\alpha}(t)). }[/math]

Уравнение непрерывности энергии или закон сохранения энергии

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t}\left(u_e + u_m\right) + \nabla\cdot \left( \mathbf{S}_e + \mathbf{S}_m\right) = 0, }[/math]

Альтернативные формы

Можно получить и другие формы теоремы Пойнтинга. Вместо того чтобы использовать вектор потока [math]\displaystyle{ \mathbf{S} \propto \mathbf{E} \times \mathbf{B} }[/math] можно выбрать форму Авраама [math]\displaystyle{ \mathbf{E} \times \mathbf{H} }[/math], форму Минковского [math]\displaystyle{ \mathbf{D} \times \mathbf{B} }[/math], или какую-либо другую.