Теорема Люрота

Теорема Люрота описывает подполя поля рациональных функций от одной переменной [math]\displaystyle{ k(x) }[/math], содержащие поле констант [math]\displaystyle{ k }[/math], другими словами, подрасширения чисто трансцендентного расширения степени трансцендентности 1. Названа в честь Якоба Люрота, который доказал её в 1876 году.

Формулировки

Теорема. Пусть [math]\displaystyle{ k }[/math] — поле, а [math]\displaystyle{ k(x) }[/math] — поле рациональных функций от одной переменной. Тогда каждое подрасширение расширения [math]\displaystyle{ k(x)/k }[/math] имеет вид [math]\displaystyle{ k(f) }[/math] для некоторой рациональной функции [math]\displaystyle{ f }[/math]. Таким образом, оно также является полем рациональных функций от одной переменной.

В геометрических терминах теорема формулируется следующим образом:

Теорема. Пусть [math]\displaystyle{ k }[/math] — поле. Пусть [math]\displaystyle{ f:\mathbb P^1_k\to C }[/math] — непостоянный морфизм из проективной прямой в неособую кривую [math]\displaystyle{ C }[/math] над [math]\displaystyle{ k }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ C }[/math] изоморфна проективной прямой.

Замечания:

• Для степени трансцендентности 2 теорема Люрота остаётся верной в характеристике 0 (теорема Кастельнуово). Более точно, пусть [math]\displaystyle{ k }[/math] — алгебраически замкнутое поле характеристики 0 и [math]\displaystyle{ L }[/math] — подрасширение [math]\displaystyle{ k(x,y)/k }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ L }[/math] совпадает с [math]\displaystyle{ k }[/math] или изоморфно полю рациональных функций от одной или двух переменных над [math]\displaystyle{ k }[/math]. Это не верно в положительной характеристике, что показывают примеры Зарисского и Сиоды.
• Для степени трансцендентности 3 этот результат не верен даже над [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math].
• Теорему Люрота нетрудно доказать, используя алгебро-геометрические понятия, такие как род кривой. Тем не менее, хотя эта теорема часто воспринимается как неэлементарная, существуют короткие её доказательства, использующие лишь элементарные факты теории полей. По-видимому, все эти доказательства используют лемму Гаусса о примитивных многочленах.