Теорема Линника
Теорема Линника — утверждение теории чисел, являющееся усилением теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Теорема даёт верхнюю оценку на значение чисел, существование которых доказывает теорема Дирихле.
Теорема доказана Юрием Линником в 1944 году.
Для доказательства был использован математический аппарат характеров и функций Дирихле, типичный для задач, связанных с простыми числами в бесконечных арифметических прогрессиях[1][2].
Формулировка
Для взаимопростых чисел [math]\displaystyle{ a,d }[/math] [math]\displaystyle{ (a \lt d) }[/math] обозначим через [math]\displaystyle{ p(a,d) }[/math] минимальное число в прогрессии вида [math]\displaystyle{ a + n d, n=0,1,2,\dots }[/math], являющееся простым. Существуют такие абсолютные константы [math]\displaystyle{ c, L }[/math], что для любых взаимопростых [math]\displaystyle{ a,d }[/math] [math]\displaystyle{ (a\lt d) }[/math] выполняется [math]\displaystyle{ p(a,d) \lt c d^L }[/math] |
Другие свойства и гипотезы
Из обобщённой гипотезы Римана следовало бы, что
- [math]\displaystyle{ p(a,d) \le \varphi(d)^2 {(\ln d)}^2 }[/math],
где [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — функция Эйлера.
Существует также гипотеза, что [math]\displaystyle{ p(a,d) \lt d^2 }[/math]
Улучшение оценок на показатель L
Показатель [math]\displaystyle{ L }[/math] в оценке [math]\displaystyle{ p(a,d) \lt c d^L }[/math] иногда называют константой Линника. Хотя ещё первая работа Линника показывала, что эта константа эффективно вычислима , однако в работе не делались попытки вычислить точное её значение. Впоследствии константа Линника многократно улучшалась. Ниже приведена история этих улучшений.
L ≤ | Год публикации | Автор |
---|---|---|
10000 | 1957 | Пан Ченгдонг[3] |
5448 | 1958 | Пан Ченгдонг |
777 | 1965 | Chen Jingrun[4] |
630 | 1971 | Matti Jutila |
550 | 1970 | Matti Jutila[5] |
168 | 1977 | Chen Jingrun[6] |
80 | 1977 | Matti Jutila[7] |
36 | 1977 | Сидней Грэхем[8] |
20 | 1981 | Сидней Грэхем[9] |
17 | 1979 | Chen Jingrun[10] |
16 | 1986 | Вонг |
13,5 | 1989 | Chen Jingrun и Liu[11][12] |
8 | 1990 | Вонг[13] |
5,5 | 1992 | Хиз-Браун[14] |
5,18 | 2009 | Xylouris[15] |
5 | 2011 | Xylouris[16] |
См. также
Примечания
- ↑ Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem (англ.) // Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. : journal. — 1944. — Vol. 15, no. 57. — P. 139—178. Архивировано 29 января 2020 года.
- ↑ Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon (англ.) // Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. : journal. — 1944. — Vol. 15, no. 57. — P. 347—368. Архивировано 29 января 2020 года.
- ↑ Pan, Cheng Dong. On the least prime in an arithmetical progression (неопр.) // Sci. Record (N.S.). — 1957. — Т. 1. — С. 311—313.
- ↑ Chen, Jingrun. On the least prime in an arithmetical progression (неопр.) // Sci. Sinica. — 1965. — Т. 14. — С. 1868—1871.
- ↑ Jutila, Matti. A new estimate for Linnik's constant (неопр.) // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I No.. — 1970. — Т. 471.
- ↑ Chen, Jingrun. On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions (англ.) // Sci. Sinica : journal. — 1977. — Vol. 20, no. 5. — P. 529—562.
- ↑ Jutila, Matti. On Linnik's constant (неопр.) // Math. Scand.. — 1977. — Т. 41, № 1. — С. 45—62.
- ↑ Applications of sieve methods (Ph.D.). — Ann Arbor, Mich: Univ. Michigan, 1977.
- ↑ Graham, S. W. On Linnik's constant (неопр.) // Acta Arith. . — 1981. — Т. 39, № 2. — С. 163—179.
- ↑ Chen, Jingrun. On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. II (англ.) // Sci. Sinica : journal. — 1979. — Vol. 22, no. 8. — P. 859—889.
- ↑ Chen, Jingrun; Liu, Jian Min. On the least prime in an arithmetical progression. III (англ.) // Sci. China Ser. A : journal. — 1989. — Vol. 32, no. 6. — P. 654—673.
- ↑ Chen, Jingrun; Liu, Jian Min. On the least prime in an arithmetical progression. IV (англ.) // Sci. China Ser. A : journal. — 1989. — Vol. 32, no. 7. — P. 792—807.
- ↑ Wang, Wei. On the least prime in an arithmetical progression (англ.) // Acta Mathematica Sinica, New Series : journal. — 1991. — Vol. 7, no. 3. — P. 279—288.
- ↑ Heath-Brown, Roger. Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression (англ.) // London Mathematical Society : journal. — 1992. — Vol. 64, no. 3. — P. 265—338. — doi:10.1112/plms/s3-64.2.265.
- ↑ Xylouris, Triantafyllos. On Linnik's constant (неопр.) // Acta Arith. . — 2011. — Т. 150, № 1. — С. 65—91. — doi:10.4064/aa150-1-4.
- ↑ Über die Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen und die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression (Dissertation for the degree of Doctor of Mathematics and Natural Sciences). — Bonn: Universität Bonn, Mathematisches Institut, 2011.