Теорема Жордана о конечных линейных группах

Теорема Жордана теорема о конечных линейных группах гарантирует наличие большой коммутативной подгруппы в любой конечной линейной группе.

В первоначальном виде доказана Камиллем Жорданом, позже несколько раз улучшена.

Формулировка

Для любой размерности [math]\displaystyle{ n }[/math], существует число [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] такое, что любая конечная подгруппа [math]\displaystyle{ G }[/math] группы [math]\displaystyle{ \mathrm{GL}(n,\mathbb{C}) }[/math] обратимых матриц с комплексными компонентами содержит нормальную коммутативную подгруппу [math]\displaystyle{ H }[/math] с индексом [math]\displaystyle{ [G:H]\le f(n) }[/math]

Вариации и обобщения

• Шур доказал более общий результат для периодических групп, при этом дал следующую оценку:

  [math]\displaystyle{ f(n)=\left( \sqrt{8n} + 1 \right)^{2n^2} - \left( \sqrt{8n} - 1 \right)^{2n^2} }[/math]

• Для конечных групп, более точную оценку доказал Андреас Спaйсер:

  [math]\displaystyle{ f(n)=n!\cdot 12^{n(\pi(n+1) + 1)} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \pi(n) }[/math] есть функция распределения простых чисел.

• Эта оценка была улучшена Бличфельдтом, который заменил "12" на "6".
• Впоследствии, Майкл Коллинз, с помощью классификации конечных простых групп, показал, что [math]\displaystyle{ f(n)=(n+1)! }[/math] при [math]\displaystyle{ n\ge 71 }[/math], и дал почти полное описаний поведения [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] при малых [math]\displaystyle{ n }[/math].