Теорема Егорова

Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.

Формулировка

Пусть дано пространство с конечной мерой [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{F},\mu) }[/math] так, что [math]\displaystyle{ \mu(X) \lt \infty }[/math], и определённая на нём последовательность измеримых функций [math]\displaystyle{ \{f_n\}_{n=1}^{\infty} }[/math], сходящаяся почти всюду к [math]\displaystyle{ f }[/math]. Тогда для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] существует множество [math]\displaystyle{ X_{\varepsilon} \subset X }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ \mu(X \setminus X_{\varepsilon}) \lt \varepsilon }[/math], и последовательность [math]\displaystyle{ \{f_n\} }[/math] равномерно сходится к [math]\displaystyle{ f }[/math] на [math]\displaystyle{ X_{\varepsilon} }[/math].

Замечания

• Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
• Конечность [math]\displaystyle{ \mu(X) }[/math] принципиальна. Пусть, например, [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{F},\mu) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m) }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathcal{B}(\mathbb{R}) }[/math] — борелева σ-алгебра на [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], а [math]\displaystyle{ m }[/math] — мера Лебега. Заметим, что [math]\displaystyle{ m(\mathbb{R}) = \infty }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ f_n(x) = \mathbf{1}_{[n,n+1]}(x),\; x\in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathbf{1}_A }[/math] обозначает индикатор-функцию множества [math]\displaystyle{ A }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \{f_n\} }[/math] сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком дополнении к множеству конечной меры.

Вариации и обобщения

• Теорема Егорова естественно обобщается на случай функций со значением в Банаховом пространстве.

• Теорема Лузина

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.

• Dmitri Egoroff, Sur les suites des fonctions measurables. C.R. Acad. Sci. Paris,(1911) 152:135–157.
• Богачев В. И., К истории открытия теорем Егорова и Лузина, Историко-математические исследования, вып. 48 (13), 2009.