Теорема Дэвенпорта — Шмидта

В математике, в области диофантовых приближений, теорема Давенпорта — Шмидта определяет, насколько хорошо действительные числа специального вида могут быть аппроксимированы другим специальным видом чисел. А именно, она утверждает возможность получить хорошее приближение к иррациональным числам, которые не являются квадратичными, используя квадратичные иррациональные числа или просто рациональные числа. Теорема названа в честь Гарольда Дэвенпорта и Вольфганга М. Шмидта.

Теорема

Для рационального или квадратичного иррационального числа [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] существуют уникальные целые числа [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ y }[/math] и [math]\displaystyle{ z }[/math] такие, что хотя бы одно из них не равно нулю, первое ненулевое из них положительно, они взаимно просты, и выполняется

[math]\displaystyle{ x\alpha^2 +y\alpha +z=0. }[/math]

Если [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — квадратичное иррациональное число, в качестве [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ y }[/math] и [math]\displaystyle{ z }[/math] можно взять коэффициенты его минимального полинома. Если [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] рационально, примем [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]. Используя эти целые числа, однозначно определённые для каждого такого [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], высоту [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] задаётся по формуле

[math]\displaystyle{ H(\alpha)=\max\{|x|,\;|y|,\;|z|\}. }[/math]

Теорема утверждает, что для любого действительного числа [math]\displaystyle{ \xi }[/math], которое не является ни рациональным, ни квадратичным иррациональным, можно найти бесконечно много действительных чисел [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], которые являются рациональными или квадратичными иррациональными и которые удовлетворяют неравенству

[math]\displaystyle{ |\xi-\alpha|\lt CH(\alpha)^{-3}\max(1,\;\xi^2), }[/math]

где [math]\displaystyle{ C }[/math] — любое действительное число, удовлетворяющее [math]\displaystyle{ C\gt 160/9 }[/math].

Хотя эта теорема связана с теоремой Рота, её реальное использование заключается в том, что она эффективна в том смысле, что постоянная [math]\displaystyle{ C }[/math] может быть определена для любого заданного [math]\displaystyle{ \xi }[/math].

Литература

• Schmidt Wolfgang M. Diophantine approximation // Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
• Schmidt Wolfgang M. Diophantine approximations and Diophantine equations // Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.

Ссылки

• Шаблон:Planetmath reference