Теорема Гурвица (комплексный анализ)
Теоре́ма Гу́рвица — утверждение в комплексном анализе, которое описывает связь нулей голоморфной функции с нулями последовательности.
Используется в доказательстве важной теоремы Римана об отображении.
Утверждение теоремы
Пусть последовательность функций [math]\displaystyle{ f_n }[/math], голоморфных в области [math]\displaystyle{ D }[/math], сходится в топологии [math]\displaystyle{ O(D) }[/math] (то есть равномерно на компактах в [math]\displaystyle{ D }[/math]) к функции [math]\displaystyle{ f \ne \text{const} }[/math]. Если точка [math]\displaystyle{ z_0 \in D }[/math] является нулем функции [math]\displaystyle{ f }[/math], то есть [math]\displaystyle{ f(z_0)=0 }[/math], то в любом круге [math]\displaystyle{ \{z: |z-z_0| \lt r\} \sub D }[/math] все функции [math]\displaystyle{ f_n }[/math], начиная с некоторой, также имеют нуль.
Доказательство
По теореме Вейерштрасса предельная функция [math]\displaystyle{ f }[/math] голоморфна в [math]\displaystyle{ D }[/math]. Поскольку достаточно доказать теорему лишь для достаточно малых кругов с центром [math]\displaystyle{ z_0 }[/math], мы можем считать, что круг [math]\displaystyle{ U = \{z: |z-z_0| \le r\} }[/math] принадлежит [math]\displaystyle{ D }[/math], а в [math]\displaystyle{ U }[/math] нет других нулей [math]\displaystyle{ f }[/math], кроме [math]\displaystyle{ z_0 }[/math].
Положим [math]\displaystyle{ f_\ast = \min_{z \in \partial U} |f(z)| }[/math], что больше нуля по построению. Из равномерной сходимости последовательности [math]\displaystyle{ f_n }[/math] на [math]\displaystyle{ \partial U }[/math] вытекает, что начиная с некоторого номера выполняется оценка [math]\displaystyle{ |f_n(z) - f(z)| \lt f_\ast }[/math] для всех [math]\displaystyle{ z \in \partial U }[/math]. Тогда по теореме Руше функция [math]\displaystyle{ f_n(z) = f(z) + [f_n(z) - f(z)] }[/math] имеет в [math]\displaystyle{ U }[/math] столько же нулей, сколько и [math]\displaystyle{ f }[/math], то есть по крайней мере один.
Литература
- Hurwitz A. Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Würzeln mit negativen reellen Teilen besitzt. Math. Ann. , 46 (1895) pp. 273—284.
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Часть 1. Функции одного переменного. — М.: Наука. — С. 225.