Теорема Руше

По теореме Руше, если функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] и [math]\displaystyle{ g(z) }[/math] голоморфны в односвязной области [math]\displaystyle{ G }[/math], а на контуре [math]\displaystyle{ \partial G }[/math] выполняется неравенство [math]\displaystyle{ |g(z)|\lt |f(z)| }[/math], то в области [math]\displaystyle{ G }[/math] функции [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ f+g }[/math] имеют одинаковое количество нулей, при условии, что каждый ноль подсчитан с учётом кратности.

Или: [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] и [math]\displaystyle{ g(z) }[/math] голоморфны в односвязной области [math]\displaystyle{ G }[/math], [math]\displaystyle{ h=f+g }[/math], а [math]\displaystyle{ K }[/math] — стандартный компакт, лежащий в [math]\displaystyle{ G }[/math]. Если [math]\displaystyle{ |g(z)|\lt |f(z)| \forall z \in Fr(K) }[/math], то [math]\displaystyle{ \int\limits_{\delta k}{\frac{h'(z)}{h(z)}}dz=\int\limits_{\delta k}{\frac{f'(z)}{f(z)}}dz }[/math]

Ссылки

• Beardon, Alan. Complex Analysis: the Winding Number principle in analysis and topology (англ.). — John Wiley and Sons, 1979. — P. 131. — ISBN 0-471-99672-6.
• Titchmarsh, E. C. The Theory of Functions (англ.). — 2nd. — Oxford University Press, 1939. — P. 117—119, 198—203. — ISBN 0-19-853349-7.