Теорема Банаха о неподвижной точке

Теорема Банаха о неподвижной точке — утверждение в метрической геометрии, гарантирующее наличие и единственность неподвижной точки у определённого класса отображений метрических пространств, также содержит конструктивный метод нахождения этой точки. Теорема названа в честь Стефана Банаха, польского математика, установившего это утверждение в 1922 году.

Теорема

Пусть [math]\displaystyle{ (\mathbb{X},\,d) }[/math] — непустое полное метрическое пространство.

Пусть [math]\displaystyle{ T\colon\mathbb{X}\to\mathbb{X} }[/math] — сжимающее отображение на [math]\displaystyle{ \mathbb{X} }[/math], то есть существует число [math]\displaystyle{ 0\leqslant\alpha\lt 1 }[/math] такое, что

[math]\displaystyle{ d(Tx,\,Ty)\leqslant\alpha d(x,\,y), }[/math] для всех [math]\displaystyle{ x,\,y }[/math] из [math]\displaystyle{ \mathbb{X.} }[/math]

Тогда у отображения [math]\displaystyle{ T }[/math] существует, и притом единственная, неподвижная точка [math]\displaystyle{ x^* }[/math] из [math]\displaystyle{ \mathbb{X} }[/math] (неподвижность [math]\displaystyle{ x^* }[/math] означает , что [math]\displaystyle{ Tx^*=x^* }[/math]).

Число [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] часто называют коэффициентом сжатия.

Если число [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] равно 1, то есть отображение не сжимающее, теорема может не выполняться.

Доказательство

Возьмём произвольный фиксированный элемент метрического пространства [math]\displaystyle{ {x\in\mathbb{X}} }[/math] и рассмотрим последовательность [math]\displaystyle{ x_1=Tx,\;x_2=Tx_1,\;\ldots,\;x_{n+1}=Tx_n }[/math].

Таким образом получим последовательность [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math].

Покажем, что эта последовательность фундаментальна. В самом деле:

[math]\displaystyle{ d(x_1,\,x_2)=d(Tx,\,Tx_1)\leqslant\alpha d(x,\,x_1)=\alpha d(x,\,Tx), }[/math]

[math]\displaystyle{ d(x_2,\,x_3)=d(Tx_1,\,Tx_2)\leqslant\alpha d(x_1,\,x_2)\leqslant \alpha^2 d(x,\,Tx), }[/math]

[math]\displaystyle{ \ldots, }[/math]

[math]\displaystyle{ d(x_n,\,x_{n+1})\leqslant\alpha^n d(x,\,Tx). }[/math]

По неравенству треугольника для [math]\displaystyle{ d(x_n,\,x_{n+p})\leqslant d(x_{n},\,x_{n+1})+d(x_{n+1},\,x_{n+2})+\ldots+d(x_{n+p-1},\,x_{n+p})\leqslant\alpha^n(1+\alpha+\ldots+\alpha^{p-1})d(x,\,Tx)=\frac{\alpha^n-\alpha^{n+p}}{1-\alpha}d(x,\,Tx) }[/math].

Так как по условию [math]\displaystyle{ 0\lt \alpha\lt 1 }[/math], то [math]\displaystyle{ d(x_n,\,x_{n+p})\lt \frac{\alpha^n}{1-\alpha}d(x,\,Tx) }[/math]. Отсюда следует, что [math]\displaystyle{ d(x_n,\,x_{n+p})\rightarrow 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ n\rightarrow\infty }[/math] и любом [math]\displaystyle{ p\gt 0 }[/math].

Значит, последовательность [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math] фундаментальна.

В силу полноты пространства [math]\displaystyle{ \mathbb{X} }[/math] существует элемент [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb{X} }[/math], являющийся пределом этой последовательности [math]\displaystyle{ x_0=\lim_{n\rightarrow\infty} x_n }[/math].

Докажем, что [math]\displaystyle{ Tx_0=x_0 }[/math].

По неравенству треугольника, [math]\displaystyle{ d(x_0,\,Tx_0)\leqslant d(x_0,\,x_n)+d(x_n,\,Tx_0)=d(x_0,\,x_n)+d(Tx_{n-1},\,Tx_0)\leqslant d(x_0,\,x_n)+\alpha d(x_{n-1},\,x_0) }[/math]. Так как [math]\displaystyle{ x_0=\lim_{n\rightarrow\infty} x_n }[/math], то для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] при достаточно большом [math]\displaystyle{ n }[/math] [math]\displaystyle{ d(x_0,\,x_n)\lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math] и [math]\displaystyle{ d(x_0,\,x_{n-1})\lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math]. Так как [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] произвольно, то отсюда следует, что [math]\displaystyle{ d(x_0,\;Tx_0)=0 }[/math], то есть [math]\displaystyle{ x_0=Tx_0 }[/math], что и требовалось доказать.

Докажем единственность неподвижной точки у отображения сжатия [math]\displaystyle{ T }[/math]. Предположим, что существуют два различных элемента [math]\displaystyle{ x_0,\;y_0\in\mathbb{X} }[/math], такие, что [math]\displaystyle{ Tx_0=x_0,\;Ty_0=y_0 }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ d(x_0,\,y_0)=d(Tx_0,\,Ty_0)\leqslant\alpha d(x_0,\,y_0) }[/math]. Если допустить, что [math]\displaystyle{ d(x_0,\,y_0)\gt 0 }[/math], то из предыдущего следует, что [math]\displaystyle{ \alpha\geqslant 1 }[/math]. Но это противоречит условию [math]\displaystyle{ \alpha\lt 1 }[/math]. Таким образом, наше допущение что [math]\displaystyle{ d(x_0,\,y_0)\gt 0 }[/math] неверно и [math]\displaystyle{ x_0=y_0 }[/math].

Применение

Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов краевых задач. В теории интегральных уравнений теорема используется для доказательства существования и единственности решения неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, интегрального уравнения Вольтерры 2-го рода, некоторых видов нелинейных интегральных уравнений. Широкое применение теорема находит в численных методах, таких как метод Якоби, метод Гаусса — Зейделя, метод Ньютона также можно рассматривать с позиции теоремы Банаха. Также теорема нашла применение в теории фракталов.

Литература

• Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.