Интегральное уравнение Вольтерры

Интегра́льное уравне́ние Вольте́рры (распространено также написание интегральное уравнение Вольтерра́) — специальный тип интегральных уравнений. Предложены итальянским математиком Вито Вольте́ррой, а затем изучались Траяном Лалеску в работе Sur les équations de Volterra, написанной в 1908 году под руководством Эмиля Пикара. В 1911 году Лалеску написал первую книгу об интегральных уравнениях. Уравнения находят применение в демографии, изучении вязко-упругих материалов, в страховой математике через уравнение восстановления.

Данные уравнения делятся на два типа.

Линейное уравнение Вольтерры первого рода:

[math]\displaystyle{ f(t) = \int_a^t K(t,s)\,x(s)\,ds }[/math],

где [math]\displaystyle{ f }[/math] — заданная функция, [math]\displaystyle{ x }[/math] — неизвестная функция.

Линейное уравнение Вольтерры второго рода:

[math]\displaystyle{ x(t) = f(t) + \int_a^t K(t,s)x(s)\,ds }[/math].

В теории операторов и в теории Фредгольма соответствующие уравнения называются оператором Вольтерры.

Функция [math]\displaystyle{ K }[/math] в интеграле часто называется ядром. Такие уравнения могут быть проанализированы и решены с помощью метода Лапласа.

Уравнения с однородным ядром

Первого рода

[math]\displaystyle{ f(t) = \int_0^t K(t-s)\,x(s)\,ds }[/math]

Решение основано на преобразовании Лапласа. Производя преобразование Лапласа обеих частей уравнения и обозначая его тильдой:

[math]\displaystyle{ \tilde f(p)=\tilde K(p)\tilde x(p) }[/math]

Таким образом,

[math]\displaystyle{ \tilde x(p)=\frac{\tilde f(p)}{\tilde K(p)} }[/math]

Если при [math]\displaystyle{ t\to 0 }[/math] функции [math]\displaystyle{ K(t),f(t) }[/math] стремятся к [math]\displaystyle{ K_0, f_0 }[/math] соответственно, то при больших [math]\displaystyle{ p }[/math] функция [math]\displaystyle{ \tilde x\to f_0/K_0 }[/math]. Это означает наличие [math]\displaystyle{ \delta }[/math]-функционного вклада, который следует вынести. Таким образом, решение имеет вид

[math]\displaystyle{ x(t)=\frac{f_0}{K_0}\delta(t)+\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{dp}{2\pi i}e^{pt}\left(\frac{\tilde f(p)}{\tilde K(t)}-\frac{f_0}{K_0}\right) }[/math]

Второго рода

[math]\displaystyle{ f(t) = x(t) + \int_a^t K(t-s)x(s)\,ds }[/math]

Аналогичные рассуждения приводят к тому, что

[math]\displaystyle{ \tilde x(p)=\frac{\tilde f(p)}{1+\tilde K(p)} }[/math]

Здесь уже случая неопределённости не возникает и

[math]\displaystyle{ x(t)=\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{dp}{2\pi i}e^{pt}\left(\frac{\tilde f(p)}{1+\tilde K(t)}\right) }[/math]