Сфера Эвальда
Сфера Эвальда — это геометрическая конструкция, используемая в кристаллографии и дифракции, позволяющая найти направления на дифракционные максимумы.
Концепция была придумана Паулем Петером Эвальдом, немецким физиком и кристаллографом.[1] Сам Эвальд говорил о сфере отражения.[2]
Сферу Эвальда можно использовать для нахождения максимального разрешения, доступного для данной длины волны рентгеновского излучения и размеров элементарной ячейки. Модель также можно упростить до двумерной модели "круга Эвальда", которая также будет сферой Эвальда.
Построение Эвальда
Построение может быть применимо не только в рентгеноструктурном анализе, но и для дифракции волн любого типа на периодических структурах. Волны, переотраженные от элементов периодической структуры интерферируют конструктивно и образуют максимум в заданном направлении тогда, когда выполняются условия Лауэ[3][4]:
[math]\displaystyle{ \mathbf{K} \cdot \mathbf{a}=(\mathbf{k}-\mathbf{k_0}) \cdot \mathbf{a}=2 \pi m, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \mathbf{a} }[/math] — базисный вектор прямой решетки, [math]\displaystyle{ \mathbf{k_0} }[/math] — волновой вектор падающей волны, [math]\displaystyle{ \mathbf{k} }[/math] — волновой вектор дифрагированной волны, m — целое число.
В трехмерном случае, условие можно переписать как
[math]\displaystyle{ \mathbf{K}=\mathbf{k}-\mathbf{k_0}= m \mathbf{q}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \mathbf{q} }[/math] — вектор обратной решетки. Эти формулы можно проиллюстрировать простым графическим построением, аналогичным иллюстрации направлению на порядки для дифракционной решетки.
Инструкция для построения сферы Эвальда [5] :
1. Выберите систему отсчета и постройте обратную решетку. При этом один из узлов обратной решетки находится в центре системы отсчета O.
2. Нарисуйте [math]\displaystyle{ \mathbf{k} }[/math]-вектор падающей волны так, чтобы его конец был в центре системы отсчета.
3. Постройте сферу радиуса [math]\displaystyle{ |k|=2\pi/\lambda }[/math] с центром в начале [math]\displaystyle{ \mathbf{k} }[/math]-вектора A, сама сфера проходит через начало координат O.
4. Проверьте, пересекается ли сфера еще с каким-либо узлом обратной решетки.
5. Если да, то проведите отрезок из центра сферы A в точку пересечения с узлом обратной решетки, это и будет волновой вектор дифрагированной волны.
6. Завершите построение векторов всех порядков дифракции таким же образом.
С помощью построения можно проверить, что условие Брэгга — Вульфа также выполняется.
В случае диапазона длин волн, возбуждаются все порядки, которые попадают между сферами, соответствующими минимальной и максимальной длине волны.
См. также
Примечания
- ↑ Ewald, P. P. (1921). «Die Berechnung optischer und elektrostatischer Gitterpotentiale». Annalen der Physik 369 (3): 253–287. doi:10.1002/andp.19213690304. .
- ↑ Ewald, P. P. (1969). «Introduction to the dynamical theory of X-ray diffraction». Acta Crystallographica Section A 25 (1): 103–108. doi:10.1107/S0567739469000155. .
- ↑ Каули Дж. Физика дифракции. Пер. с англ. А.С. Авилова, Л.И. Ман. Под ред. З.Г. Пинскера. — М.: Мир, 1979. — 431 с.
- ↑ Савельев И. В. Курс общей физики: Учеб. пособие. В 3-х т. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. — 3-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 496 с.
- ↑ Thomas Cornelius, Olivier Thomas (2018). «Progress of in situ synchrotron X-ray diffraction studies on the mechanical behavior of materials at small scales». Progress in Materials Science 94: 384-434. doi:10.1016/j.pmatsci.2018.01.004.