Сумма трёх кубов

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Полулогарифмический график решений x3 + y3 + z3 = n для целых чисел x, y и z и n в интервале [0, 100]. Зелёные полосы обозначают доказанное отсутствие решения

Сумма трёх кубов — в математике открытая проблема о представимости целого числа в виде суммы трёх кубов целых (положительных или отрицательных) чисел.

Соответствующее диофантово уравнение записывается как [math]\displaystyle{ x^3 + y^3 + z^3 = n. }[/math] Необходимое условие для представимости числа [math]\displaystyle{ n }[/math] в виде суммы трёх кубов: [math]\displaystyle{ n }[/math] при делении на 9 не даёт остаток 4 или 5.

В вариантах задачи число надо представить суммой кубов только неотрицательных или рациональных чисел. Любое целое число представимо в виде суммы рациональных кубов, но неизвестно, образуют ли суммы неотрицательных кубов множество с ненулевой асимптотической плотностью.

История

Вопрос о представлении произвольного целого числа в виде суммы трёх кубов существует уже около 200 лет, первое известное параметрическое решение в рациональных числах дано С. Рили в 1825 году. Параметрические решения в целых числах находят для [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] — в 1908 году А. С. Веребрюсов[1] (учитель математики Феодосийской мужской гимназии, сын С. И. Веребрюсова), для [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] — в 1936 году Малер[2].

Решения

Необходимое условие для представимости числа [math]\displaystyle{ n }[/math] в виде суммы трёх кубов: [math]\displaystyle{ n }[/math] при делении на 9 не даёт остаток 4 или 5; так как куб любого целого числа при делении на 9 даёт остаток 0, 1 или 8, то сумма трёх кубов при делении на 9 не может дать остатка 4 или 5[3]. Неизвестно, является ли это условие достаточным.

В 1992 году Роджер Хит-Браун предположил, что любое [math]\displaystyle{ n }[/math], не дающее остатка 4 или 5 при делении на 9, имеет бесконечно много представлений в виде сумм трёх кубов[4].

Однако неизвестно, разрешимо ли алгоритмически представление чисел в виде суммы трёх кубов, то есть может ли алгоритм за конечное время проверить существование решения для любого заданного числа. Если гипотеза Хита-Брауна верна, то проблема разрешима, и алгоритм может правильно решить задачу. Исследование Хита-Брауна также включает в себя более точные предположения о том, как далеко алгоритму придется искать, чтобы найти явное представление, а не просто определить, существует ли оно[4].

Случай [math]\displaystyle{ n = 33 }[/math], представление которого в виде суммы кубов долгое время не было известно, использован Бьорном Пуненом в качестве вводного примера в обзоре неразрешимых проблем теории чисел, из которых десятая проблема Гильберта является наиболее известным примером[5].

Небольшие числа

Для [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math] существуют только тривиальные решения

[math]\displaystyle{ a^3 + (-a)^3 + 0^3 = 0. }[/math]

Нетривиальное представление 0 в виде суммы трёх кубов дало бы контрпример к доказанной Леонардом Эйлером последней теореме Ферма для степени 3[6]: поскольку один из трёх кубов будет иметь противоположный к двум другим числам знак, следовательно его отрицание равно сумме этих двух.

Для [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] существует бесконечное число семейств решений, например (1 — Малер, 1936, 2 — Веребрюсов, 1908):

[math]\displaystyle{ (9b^4)^3 + (3b - 9b^4)^3 + (1 - 9b^3)^3 = 1, }[/math]
[math]\displaystyle{ (1 + 6c^3)^3 + (1 - 6c^3)^3 + (-6c^2)^3 = 2. }[/math]

Существуют другие представления и другие параметризованные семейства представлений для 1[7]. Для 2 другими известными представлениями являются[7][8]

[math]\displaystyle{ 1\ 214\ 928^3 + 3\ 480\ 205^3 + (-3\ 528\ 875)^3 = 2, }[/math]
[math]\displaystyle{ 37\ 404\ 275\ 617^3 + (-25\ 282\ 289\ 375)^3 + (-33\ 071\ 554\ 596)^3 = 2, }[/math]
[math]\displaystyle{ 373\ 783\ 0626\ 090^3 + 1\ 490\ 220\ 318\ 001^3 + (-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^3 = 2. }[/math]

Эти равенства можно использовать для разложения любого куба или удвоенного куба на сумму трёх кубов[1][9].

Однако 1 и 2 являются единственными числами с представлениями, которые могут быть параметризованы полиномами четвёртой степени[10]. Даже в случае представлений [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] Луи Дж. Морделл написал в 1953 году: «я ничего не знаю», кроме небольших решений

[math]\displaystyle{ 4^3 + 4^3 + (-5)^3 = 3, }[/math]
[math]\displaystyle{ 1^3 + 1^3 + 1^3 = 3, }[/math]

и ещё того, что все три куба должны быть равны 1 по модулю 9[11][12]. 17 сентября 2019 года Эндрю Букер и Эндрю Сазерленд, нашедшие представление для сложных случаев 33 и 42 (см. ниже), опубликовали ещё одно представление 3, для нахождения которого было затрачено 4 млн. часов в вычислительной сети Charity Engine[13][14]:

[math]\displaystyle{ 569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^3 + (-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^3 + (-472\ 715\ 493\ 453\ 327\ 032)^3 = 3, }[/math]

Остальные числа

С 1955 года, вслед за Морделлом, многие исследователи осуществляют поиск решений с помощью компьютера[15][16][8][17][18][19][20][2][21][22].

В 1954 году Миллер и Вуллетт находят представления для 69 чисел от 1 до 100. В 1963 году Гардинер, Лазарус, Штайн исследуют интервал от 1 до 999, они находят представления для многих чисел, кроме 70 чисел, из которых 8 значений меньше 100. В 1992 году Хит-Браун и др. нашли решение для 39. В 1994 году Кояма, используя современные компьютеры, находит решения для ещё 16 чисел от 100 до 1000. В 1994 году Конн и Вазерштайн — 84 и 960. В 1995 году Бремнер — 75 и 600, Люкс — 110, 435, 478. В 1997 году Кояма и др. — 5 новых чисел от 100 до 1000. В 1999 году Элкис — 30 и ещё 10 новых чисел от 100 до 1000. В 2007 году Бек и др. — 52, 195, 588[2]. В 2016 году Хёйсман — 74, 606, 830, 966[22].

Elsenhans и Jahnel в 2009 году[21] использовали метод Элкиса[20], применяющий редуцирование базиса решётки для поиска всех решений диофантова уравнения [math]\displaystyle{ x^3 + y^3 + z^3 = n }[/math] для положительных [math]\displaystyle{ n }[/math] не больше 1000 и для [math]\displaystyle{ \max\big(|x|, |y|, |z|\big) \lt 10^{14} }[/math][21], затем Хёйсман в 2016 году[22] расширил поиск до [math]\displaystyle{ \max\big(|x|, |y|, |z|\big) \lt 10^{15} }[/math].

Весной 2019 года Эндрю Букер (Бристольский университет) разработал другую стратегию поиска со временем расчётов пропорциональным [math]\displaystyle{ \min\big(|x|, |y|, |z|\big) }[/math], а не их максимуму, и нашёл представление 33 и 795[23][24][25]:

[math]\displaystyle{ 33 = 8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^3 + (-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^3 + (-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^3, }[/math]
[math]\displaystyle{ 795 = (-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^3 + 14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^3 + 2\ 337\ 348\ 783\ 323\ 923^3. }[/math]

В сентябре 2019 года Букер и Эндрю Сазерленд закрыли интервал до 100, найдя представление 42, для чего было затрачено 1,3 миллиона часов расчёта в глобальной вычислительной сети Charity Engine[26]:

[math]\displaystyle{ 42 = (-80\ 538\ 738\ 812\ 075\ 974)^3 + 80\ 435\ 758\ 145\ 817\ 515^3 + 12\ 602\ 123\ 297\ 335\ 631^3. }[/math]

Позже, в этом же месяце, они нашли разложение числа 906 [27]:

[math]\displaystyle{ 906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^3 + 72\ 054\ 089\ 679\ 353\ 378^3 + 35\ 961\ 979\ 615\ 356\ 503^3. }[/math]

А затем 165[28]:

[math]\displaystyle{ 165=(-385\ 495\ 523\ 231\ 271\ 884)^3 + 383\ 344\ 975\ 542\ 639\ 445^3 + 98\ 422\ 560\ 467\ 622\ 814^3. }[/math]

На 2019 год были найдены представления всех чисел до 100, не равных 4 или 5 по модулю 9. Остаются неизвестными представления для 7 чисел от 100 до 1000: 114, 390, 627, 633, 732, 921, 975[26].

Наименьший нерешённый случай — [math]\displaystyle{ n = 114 }[/math][26].

Варианты

Существует вариант задачи, в котором число необходимо представить в виде суммы трёх кубов неотрицательных целых чисел, эта задача связана с проблемой Варинга. В XIX веке Карл Густав Якоб Якоби и его коллеги составили таблицы решений этой задачи[29]. Предполагается, но не доказано, что представимые числа имеют положительную асимптотическую плотность[30][31], хотя Тревор Вули показал, что таким образом возможно представить [math]\displaystyle{ \Omega(n^{0{,}917}) }[/math] чисел в интервале от [math]\displaystyle{ 1 }[/math] до [math]\displaystyle{ n }[/math][32][33][34]. Плотность не более [math]\displaystyle{ \Gamma(4/3)^3 / 6 \approx 0{,}119 }[/math][3].

Ещё один вариант — с рациональными числами. Известно, что любое целое число может быть представлено в виде суммы трёх кубов рациональных чисел[35][36].

См. также

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 А. С. Веребрюсовъ (1908), Объ уравненiи x3 + y3 + z3 = 2u3, Математический сборник Т. 26 (4): 622–624, <http://mi.mathnet.ru/msb6615> 
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Beck, Michael; Pine, Eric; Tarrant, Wayne & Yarbrough Jensen, Kim (2007), New integer representations as the sum of three cubes, Mathematics of Computation Т. 76 (259): 1683–1690, DOI 10.1090/S0025-5718-07-01947-3 
  3. ↑ 3,0 3,1 Davenport, H. (1939), On Waring's problem for cubes, Acta Mathematica Т. 71: 123–143, DOI 10.1007/BF02547752 
  4. ↑ 4,0 4,1 Heath-Brown, D. R. (1992), The density of zeros of forms for which weak approximation fails, Mathematics of Computation Т. 59 (200): 613–623, DOI 10.2307/2153078 
  5. ↑ Poonen, Bjorn (2008), Undecidability in number theory, Notices of the American Mathematical Society Т. 55 (3): 344–350, <https://www.ams.org/notices/200803/tx080300344p.pdf> 
  6. ↑ Machis, Yu. Yu. (2007), On Euler's hypothetical proof, Mathematical Notes Т. 82 (3): 352–356, DOI 10.1134/S0001434607090088 
  7. ↑ 7,0 7,1 Avagyan, Armen & Dallakyan, Gurgen (2018), A new method in the problem of three cubes, DOI 10.13189/ujcmj.2017.050301 
  8. ↑ 8,0 8,1 Heath-Brown, D. R.; Lioen, W. M. & te Riele, H. J. J. (1993), On solving the Diophantine equation [math]\displaystyle{ x^3+y^3+z^3=k }[/math] on a vector computer, Mathematics of Computation Т. 61 (203): 235–244, doi:10.2307/2152950, <https://ir.cwi.nl/pub/5502> 
  9. ↑ Mahler, Kurt (1936), Note on Hypothesis K of Hardy and Littlewood, Journal of the London Mathematical Society Т. 11 (2): 136–138, DOI 10.1112/jlms/s1-11.2.136 
  10. ↑ Mordell, L. J. (1942), On sums of three cubes, Journal of the London Mathematical Society, Second Series Т. 17 (3): 139–144, DOI 10.1112/jlms/s1-17.3.139 
  11. ↑ Mordell, L. J. (1953), On the integer solutions of the equation [math]\displaystyle{ x^2+y^2+z^2+2xyz=n }[/math], Journal of the London Mathematical Society, Second Series Т. 28: 500–510, DOI 10.1112/jlms/s1-28.4.500 
  12. ↑ The equality mod 9 of numbers whose cubes sum to 3 was credited to J. W. S. Cassels by Mordell (1953), but its proof was not published until Cassels, J. W. S. (1985), A note on the Diophantine equation [math]\displaystyle{ x^3+y^3+z^3=3 }[/math], Mathematics of Computation Т. 44 (169): 265–266, DOI 10.2307/2007811 .
  13. ↑ Lu, Donna Mathematicians find a completely new way to write the number 3. New Scientist (18 September 2019). Дата обращения: 11 октября 2019.
  14. ↑ markmcan. Insanely huge sum-of-three cubes for 3 discovered – after 66 year search. [твит]. Твиттер (17 September 2019).
  15. ↑ Miller, J. C. P. & Woollett, M. F. C. (1955), Solutions of the Diophantine equation [math]\displaystyle{ x^3+y^3+z^3=k }[/math], Journal of the London Mathematical Society, Second Series Т. 30: 101–110, DOI 10.1112/jlms/s1-30.1.101 
  16. ↑ Gardiner, V. L.; Lazarus, R. B. & Stein, P. R. (1964), Solutions of the diophantine equation [math]\displaystyle{ x^{3}+y^{3}=z^{3}-d }[/math], Mathematics of Computation Т. 18 (87): 408–413, DOI 10.2307/2003763 
  17. ↑ Conn, W. & Vaserstein, L. N. (1994), On sums of three integral cubes, The Rademacher legacy to mathematics (University Park, PA, 1992), vol. 166, Contemporary Mathematics, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, с. 285–294, DOI 10.1090/conm/166/01628 
  18. ↑ Bremner, Andrew (1995), On sums of three cubes, Number theory (Halifax, NS, 1994), vol. 15, CMS Conference Proceedings, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, с. 87–91 
  19. ↑ Koyama, Kenji; Tsuruoka, Yukio & Sekigawa, Hiroshi (1997), On searching for solutions of the Diophantine equation [math]\displaystyle{ x^3+y^3+z^3=n }[/math], Mathematics of Computation Т. 66 (218): 841–851, DOI 10.1090/S0025-5718-97-00830-2 
  20. ↑ 20,0 20,1 Elkies, Noam D. (2000), Rational points near curves and small nonzero [math]\displaystyle{ |x^3-y^2| }[/math] via lattice reduction, Algorithmic number theory (Leiden, 2000), vol. 1838, Lecture Notes in Computer Science, Springer, Berlin, с. 33–63, DOI 10.1007/10722028_2 
  21. ↑ 21,0 21,1 21,2 Elsenhans, Andreas-Stephan & Jahnel, Jörg (2009), New sums of three cubes, Mathematics of Computation Т. 78 (266): 1227–1230, DOI 10.1090/S0025-5718-08-02168-6 
  22. ↑ 22,0 22,1 22,2 Huisman, Sander G. (2016), Newer sums of three cubes 
  23. ↑ Kalai, Gil (March 9, 2019), Combinatorics and more, <https://gilkalai.wordpress.com/2019/03/09/8866128975287528%C2%B3-8778405442862239%C2%B3-2736111468807040%C2%B3/> 
  24. ↑ Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33, University of Bristol, <https://people.maths.bris.ac.uk/~maarb/papers/cubesv1.pdf> 
  25. ↑ Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33, Research in Number Theory, vol. 5:26, Springer, DOI 10.1007/s40993-019-0162-1 
  26. ↑ 26,0 26,1 26,2 Houston, Robin 42 is the answer to the question 'what is (-80538738812075974)3 + 804357581458175153 + 126021232973356313?'. The Aperiodical (6 сентября 2019). Дата обращения: 4 января 2021.
  27. ↑ Andrew V. Sutherland personal webpage. Дата обращения: 20 сентября 2019.
  28. ↑ Andrew V. Sutherland personal webpage. Дата обращения: 30 сентября 2019.
  29. ↑ Dickson, Leonard Eugene (1920), History of the Theory of Numbers, Vol. II: Diophantine Analysis, Carnegie Institution of Washington, с. 717, <https://archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft/page/716> 
  30. ↑ Balog, Antal & Brüdern, Jörg (1995), Sums of three cubes in three linked three-progressions, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik Т. 1995 (466): 45–85, DOI 10.1515/crll.1995.466.45 
  31. ↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François & Landreau, Bernard (2006), On the density of sums of three cubes, in Hess, Florian; Pauli, Sebastian & Pohst, Michael, Algorithmic Number Theory: 7th International Symposium, ANTS-VII, Berlin, Germany, July 23-28, 2006, Proceedings, vol. 4076, Lecture Notes in Computer Science, Berlin: Springer, с. 141–155, DOI 10.1007/11792086_11 
  32. ↑ Wooley, Trevor D. (1995), Breaking classical convexity in Waring's problem: sums of cubes and quasi-diagonal behaviour, Inventiones Mathematicae Т. 122 (3): 421–451, DOI 10.1007/BF01231451 
  33. ↑ Wooley, Trevor D. (2000), Sums of three cubes, Mathematika Т. 47 (1–2): 53–61 (2002), DOI 10.1112/S0025579300015710 
  34. ↑ Wooley, Trevor D. (2015), Sums of three cubes, II, Acta Arithmetica Т. 170 (1): 73–100, DOI 10.4064/aa170-1-6 
  35. ↑ Richmond, H. W. (1923), On analogues of Waring's problem for rational numbers, Proceedings of the London Mathematical Society, Second Series Т. 21: 401–409, DOI 10.1112/plms/s2-21.1.401 
  36. ↑ Davenport, H. & Landau, E. (1969), On the representation of positive integers as sums of three cubes of positive rational numbers, Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau), New York: Plenum, с. 49–53 

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Сумма_трёх_кубов&oldid=5868271