Конечное расширение

Коне́чное расшире́ние — расширение поля [math]\displaystyle{ E\supset K }[/math], такое, что [math]\displaystyle{ E }[/math] конечномерно над [math]\displaystyle{ K }[/math] как векторное пространство. Размерность векторного пространства [math]\displaystyle{ E }[/math] над [math]\displaystyle{ K }[/math] называется степенью расширения и обозначается [math]\displaystyle{ [E:K] }[/math].

Свойства конечных расширений

Конечное расширение всегда алгебраично. В самом деле пусть [math]\displaystyle{ [E:K]=n }[/math], так как для любого элемента [math]\displaystyle{ \alpha\in E }[/math] набор из [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] элементов [math]\displaystyle{ 1,\alpha,\alpha^2,...\alpha^n }[/math] не может быть линейно независимым, значит существует многочлен над [math]\displaystyle{ K }[/math] степени не выше [math]\displaystyle{ n }[/math], такой, что [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] является его корнем.

Простое алгебраическое расширение [math]\displaystyle{ E=K(\alpha) }[/math] является конечным. Если неприводимый многочлен [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] над [math]\displaystyle{ K }[/math] имеет степень [math]\displaystyle{ n }[/math], то [math]\displaystyle{ [E:K]=n }[/math].

В башне полей [math]\displaystyle{ F\supset E \supset K }[/math], поле [math]\displaystyle{ F }[/math] конечно над [math]\displaystyle{ K }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ F }[/math] конечно над [math]\displaystyle{ E }[/math] и [math]\displaystyle{ E }[/math] конечно над [math]\displaystyle{ K }[/math]. Это легко следует из основных свойств векторных пространств. В этом случае если [math]\displaystyle{ e_1,...e_n }[/math] — базис [math]\displaystyle{ E }[/math] над [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ f_1,...f_m }[/math] — базис [math]\displaystyle{ F }[/math] над [math]\displaystyle{ E }[/math] то [math]\displaystyle{ f_1e_1, f_1e_2,...f_1e_n, f_2e_1,...f_me_1,...f_me_n }[/math] — базис [math]\displaystyle{ F }[/math] над [math]\displaystyle{ K }[/math], отсюда [math]\displaystyle{ [F:E][E:K]=[F:K] }[/math].

Конечное расширение E является конечно порождённым. В качестве порождающих элементов можно взять элементы любого базиса [math]\displaystyle{ E=K(e_1,...e_n) }[/math]. Обратно, любое конечно порождённое алгебраическое расширение является конечным. В самом деле, [math]\displaystyle{ K(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n)=K(\alpha_1)(\alpha_2)...(\alpha_n) }[/math]. Элементы [math]\displaystyle{ \alpha_i }[/math] будучи алгебраическими над [math]\displaystyle{ K }[/math] остаются таковыми и над бо́льшим полем [math]\displaystyle{ K(\alpha_1)...(\alpha_{i-1}) }[/math]. Далее применяем теоремы о конечности простых алгебраических расширений и башне конечных расширений.

Если [math]\displaystyle{ E \supset K }[/math] конечно, то для любого расширения [math]\displaystyle{ F \supset K }[/math] то, (если [math]\displaystyle{ F }[/math] и [math]\displaystyle{ E }[/math] содержатся в каком-нибудь поле) композит полей [math]\displaystyle{ EF }[/math] является конечным расширением [math]\displaystyle{ F }[/math]).

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 — М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра — М:, Мир, 1967