Статическая изотропная метрика

Статическая изотропная метрика — это метрика, определяющая статическое изотропное гравитационное поле. Частным случаем этой метрики является метрика Шварцшильда, на случай пустого (ничем не заполненного) пространства-времени.

Определение

Под словами статическое и изотропное понимается следующее: всегда можно найти набор координат близких к координатам Минковского [math]\displaystyle{ x^1 , x^2 , x^3 , x^0 = t }[/math], такой что инваринтное собственное время [math]\displaystyle{ d\tau^2 =-g_{\mu \nu}dx^\mu dx^\nu }[/math] не зависит от [math]\displaystyle{ t }[/math], а зависит от [math]\displaystyle{ \mathbf{x}, \mathbf{dx} }[/math] только через инварианты группы поворотов: [math]\displaystyle{ \mathbf{x^2}, \mathbf{x}\cdot\mathbf{dx}, \mathbf{dx^2} }[/math]. Самый общий вид записи интервала: [math]\displaystyle{ d \tau^2 = F(r)dt^2 - 2E(r)dt\mathbf{x}\cdot\mathbf{dx} - D(r)(\mathbf{x}\cdot\mathbf{dx})^2 - C(r)\mathbf{dx^2}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ F, E, C, D }[/math] — неизвестные функции величины [math]\displaystyle{ r \equiv ( \mathbf{x}\cdot\mathbf{x} )^{1/2} }[/math]

Сведение к стандартному виду

Выгодно заменить [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] сферическими полярными координатами [math]\displaystyle{ r,\theta,\phi }[/math]:

[math]\displaystyle{ x^1 = r \sin \theta \cos \varphi\,; }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2 = r \sin \theta \sin \varphi\, ; }[/math]

[math]\displaystyle{ x^3 = r \cos\varphi\, . }[/math]

Интервал в таком случае примет вид:

[math]\displaystyle{ d \tau^2 = F(r)dt^2 - 2rE(r)dtdr - r^2 D(r)dr^2 - C(r)(dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi^2) }[/math],

Мы можем установить наши часы по определению новой временной координаты

[math]\displaystyle{ t' \equiv t + \Phi (r) }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Phi (r) }[/math] — произвольная функция от [math]\displaystyle{ r }[/math]. Это позволяет исключить недиагональных элемент [math]\displaystyle{ g_{tr} }[/math], положив

[math]\displaystyle{ \frac{d\Phi}{dr} = - \frac{rE(r)}{F(r)} }[/math]

Тогда интервал выражается так:

[math]\displaystyle{ d \tau^2 = F(r)dt'^2 - r^2 G(r)dr^2 - C(r)(dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi^2) }[/math]

[math]\displaystyle{ G(r)\equiv r^2 \left (D(r)+ \frac{E^2(r)}{F(r)} \right) }[/math]

Мы можем переопределить радиус [math]\displaystyle{ r }[/math] и, тем самым, наложить ещё одно условие на функции [math]\displaystyle{ F,G,C }[/math], например следующим образом [math]\displaystyle{ r' \equiv r^2C(r) }[/math] . Тогда мы получим так называемую стандартную форму для статической изотропной метрики:

[math]\displaystyle{ d \tau^2 = B(r')dt'^2 - A(r')dr'^2 - r'^2(d\theta^2 +\sin^2\theta d\varphi^2) }[/math]

где

[math]\displaystyle{ B(r)\equiv F(r') }[/math]

[math]\displaystyle{ A(r)\equiv \left(1 + \frac{G(r)}{C(r)}\right)\left( 1 + \frac{r}{2C(r)} \frac{dC(r)}{dr} \right)^{-2}. }[/math]

После последнего преобразования метрический тензор имеет следующие ненулевые компоненты:

[math]\displaystyle{ g_{rr}=A(r) }[/math]

[math]\displaystyle{ g_{\theta \theta}=r^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ g_{\phi \phi}=r^2 sin^2\theta }[/math]

[math]\displaystyle{ g_{tt}=-B(r) }[/math]

Где функции [math]\displaystyle{ A(r) }[/math] і [math]\displaystyle{ B(r) }[/math] должны быть определении путём решения уравнений поля. Так как [math]\displaystyle{ g_{\mu \nu} }[/math] — диагональный тензор, легко написать ненулевые компоненты тензора, обратного к нему:

[math]\displaystyle{ g^{rr}=A^{-1}(r) }[/math]

[math]\displaystyle{ g^{\theta \theta}=r^{-2} }[/math]

[math]\displaystyle{ g^{\phi \phi}=r^{-2} sin^{-2}\theta }[/math]

[math]\displaystyle{ g^{tt}=-B^{-1}(r) }[/math]

Символы Кристоффеля и тензор Риччи

Аффинная связность может быть вычислена по обычной формуле:

[math]\displaystyle{ \Gamma^s_{ij} = {1 \over 2} \, g^{sk} \left ( \partial_i g_{jk} + \partial_j g_{ki} - \partial_k g_{ij} \right ) }[/math]

Её ненулевые компоненты оказываются равными:

[math]\displaystyle{ \Gamma^r_{rr} = \frac{1}{2A(r)}\frac{dA(r)}{dx} }[/math],

[math]\displaystyle{ \Gamma^r_{\phi \phi} = - \frac{rsin^2\theta}{A(r)} }[/math],

[math]\displaystyle{ \Gamma^\theta_{r \theta} = \Gamma^\theta_{\theta r} = \frac{1}{r} }[/math],

[math]\displaystyle{ \Gamma^\phi_{r \phi} = \Gamma^\phi_{\phi r} = \frac{1}{r} }[/math],

[math]\displaystyle{ \Gamma^r_{\theta \theta} = - \frac{r}{A(r)} }[/math],

[math]\displaystyle{ \Gamma^r_{tt} = \frac{1}{2A(r)}\frac{dB(r)}{dx} }[/math],

[math]\displaystyle{ \Gamma^\theta_{\phi \phi} = -sin\theta cos\theta }[/math],

[math]\displaystyle{ \Gamma^\phi_{\theta \phi} = \Gamma^\phi_{\phi \theta} = ctg\theta }[/math],

[math]\displaystyle{ \Gamma^t_{tr} = \Gamma^t_{rt} = \frac{1}{2B(r)}\frac{dB(r)}{dx} }[/math],

Вычислим также тензор Риччи. Он задаётся выражением

[math]\displaystyle{ R_{\sigma\nu} = {R^\rho}_{\sigma\rho\nu} = {\partial_\rho \Gamma^\rho_{\nu\sigma}} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\rho\sigma} + \Gamma^\rho_{\rho\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\rho\sigma} . }[/math]

Подставляя ранее полученные компоненты аффинной связности, получим:

[math]\displaystyle{ R_{rr} = \frac{B''(r)}{2B(r)} - \frac{1}{4} \frac{B'(r)}{B(r)} \left (\frac{A'(r)}{A(r)} + \frac{B'(r)}{B(r)} \right ) - \frac{1}{r} \frac{A'(r)}{A(r)} }[/math],

[math]\displaystyle{ R_{\theta \theta} = -1 + \frac{r}{2A(r)} \left ( - \frac{A'(r)}{A(r)} + \frac{B'(r)}{B(r)} \right ) + \frac{1}{A(r)} }[/math],

[math]\displaystyle{ R_{\phi \phi} = sin^2 \theta R_{\theta \theta} }[/math],

[math]\displaystyle{ R_{tt} = \frac{B''(r)}{2A(r)} - \frac{1}{4} \frac{B'(r)}{A(r)} \left (\frac{A'(r)}{A(r)} + \frac{B'(r)}{B(r)} \right ) - \frac{1}{r} \frac{B'(r)}{A(r)} }[/math],

(Штрих теперь означает дифференцирование по [math]\displaystyle{ r }[/math]). Вследствие инвариантности метрики относительно поворотов компоненты [math]\displaystyle{ R_{\theta r} }[/math], [math]\displaystyle{ R_{\theta \phi} }[/math], [math]\displaystyle{ R_{\phi r} }[/math], [math]\displaystyle{ R_{\phi t} }[/math], [math]\displaystyle{ R_{\theta t} }[/math] тождественно равны нулю, а [math]\displaystyle{ R_{\phi \phi} = sin^2R_{\theta \theta} }[/math]. Равенство нулю [math]\displaystyle{ R_{tr} }[/math] связано с тем, что мы установили наши часы так, что метрика оказалась инвариантна относительно обращения времени [math]\displaystyle{ t \leftrightarrow -t }[/math].