Список кристаллографических групп
Кристаллографические группы, или фёдоровские группы — набор групп симметрий, которые описывают все возможные симметрии бесконечного количества периодически расположенных точек в трёхмерном пространстве. Эта классификация симметрий была сделана независимо и почти одновременно русским математиком Фёдоровым и немецким математиком Шёнфлисом. Полученные сведения играют большую роль в кристаллографии.
Легенда к списку
Символ Германа — Могена
Символ пространственной группы содержит символ решётки Браве (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы. При этом символы осей и плоскостей симметрии в символе могут изменяться на символы винтовых осей и скользящих плоскостей в соответствии с их наличием в данном конкретном кристаллическом пространстве. Символы решётки Браве передают её тип центрировки:
- P — примитивная;
- I — объёмноцентрированная (дополнительный узел в центре ячейки);
- F — гранецентрированная (дополнительные узлы в центрах всех граней).
- С, А или В — базоцентрированная (дополнительный узел в центре грани C, A или B). Решётки типов A и B называют также бокоцентрированными;
- R — дважды объёмноцентрированная (два дополнительных узла на большой диагонали ячейки).
Классы
Для обозначения кристаллографических классов (точечных групп) приняты следующие обозначения (здесь буква n заменяет натуральное число, а буква m обозначает именно саму букву m):
- [math]\displaystyle{ n }[/math] — ось симметрии n-го порядка.
- [math]\displaystyle{ \bar{n} }[/math] — инверсионная ось симметрии n-го порядка.
- [math]\displaystyle{ m }[/math] — плоскость симметрии.
- [math]\displaystyle{ nm }[/math] или [math]\displaystyle{ nmm }[/math] — ось симметрии n-го порядка и n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё.
- [math]\displaystyle{ \frac{n}{m} }[/math] — ось симметрии порядка n и плоскость симметрии, к ней перпендикулярная.
- [math]\displaystyle{ n2 }[/math] — ось симметрии порядка n и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
- [math]\displaystyle{ n /mmm }[/math] — ось симметрии n-го порядка и плоскости параллельные и перпендикулярные к ней.
- [math]\displaystyle{ \bar{n} m2 }[/math] или [math]\displaystyle{ \bar{n} 2m }[/math] (n — чётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, [math]\displaystyle{ \tfrac{n}{2} }[/math] плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё, и [math]\displaystyle{ \tfrac{n}{2} }[/math] осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
- [math]\displaystyle{ \bar{n} m }[/math] (n — нечётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё, и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
Символ Шёнфлиса
- Сn — циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси.
- Сni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i.
- Cnv (от нем. vertikal — вертикальный) — также имеет плоскость симметрии, расположенную вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
- Cnh (от нем. horizontal — горизонтальный) — также имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к главной оси симметрии.
- S2, S4, S6 (от нем. spiegel — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии.
- Cs — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.
- Dn — является группой Сn с добавочными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной оси.
- Dnh — также имеет горизонтальную плоскость симметрии.
- Dnd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет вертикальные диагональные плоскости симметрии, которые идут между осями симметрии второго порядка.
- O, T — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка — группы кубической сингонии. Обозначаются буквой О в случае, если они содержат полный набор осей симметрии октаэдра, или буквой Т, если они содержат полный набор осей симметрии тетраэдра.
- Oh и Th — также содержат горизонтальную плоскость симметрии
- Td — также содержат диагональную плоскость симметрии
n может равняться 1, 2, 3, 4, 6.
Список всех 230 групп
| Номер | Класс | Число групп | Символ Германа-Могена | Символ Шёнфлиса | Изображение |
|---|---|---|---|---|---|
| Триклинная система | |||||
| 1 | [math]\displaystyle{ 1 }[/math] | 1 | [math]\displaystyle{ P1 }[/math] | [math]\displaystyle{ C_1 }[/math] | |
| 2 | [math]\displaystyle{ \bar{1} }[/math] | 1 | [math]\displaystyle{ P\bar{1} }[/math] | [math]\displaystyle{ C_i }[/math] | |
| Моноклинная система | |||||
| 3-5 | [math]\displaystyle{ 2 }[/math] | 3 | [math]\displaystyle{ P2 }[/math] [math]\displaystyle{ P2_1 }[/math] [math]\displaystyle{ C2 }[/math] | [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] |  Внешне человек обладает [math]\displaystyle{ C_{s} }[/math] симметрией. |
| 6-9 | [math]\displaystyle{ m }[/math] | 4 | [math]\displaystyle{ Pm }[/math] [math]\displaystyle{ Pc }[/math] [math]\displaystyle{ Cm }[/math] [math]\displaystyle{ Cc }[/math] | [math]\displaystyle{ C_s }[/math] | |
| 10-15 | [math]\displaystyle{ 2/m }[/math] | 6 | [math]\displaystyle{ P2/m }[/math] [math]\displaystyle{ P2_1/m }[/math] [math]\displaystyle{ C2/m }[/math] [math]\displaystyle{ P2/c }[/math] [math]\displaystyle{ P2_1/c }[/math] [math]\displaystyle{ C2/c }[/math] | [math]\displaystyle{ C_{2h} }[/math] | |
| Ромбическая система | |||||
| 16-24 | [math]\displaystyle{ 222 }[/math] | 9 | [math]\displaystyle{ P222 }[/math] [math]\displaystyle{ P222_1 }[/math] [math]\displaystyle{ P2_12_12 }[/math] [math]\displaystyle{ P2_12_12_1 }[/math] [math]\displaystyle{ C222_1 }[/math] [math]\displaystyle{ C222 }[/math] [math]\displaystyle{ F222 }[/math] [math]\displaystyle{ I222 }[/math] [math]\displaystyle{ I2_12_12_1 }[/math] | [math]\displaystyle{ D_{2} }[/math] |  Рельсы обладают [math]\displaystyle{ C_{2v} }[/math] симметрией. |
| 25 - 46 | [math]\displaystyle{ mm2 }[/math] | 22 | [math]\displaystyle{ Pmm2 }[/math] [math]\displaystyle{ Pmc2_{1} }[/math] [math]\displaystyle{ Pcc2 }[/math] [math]\displaystyle{ Pma2 }[/math] [math]\displaystyle{ Pca2_{1} }[/math] [math]\displaystyle{ Pnc2 }[/math] [math]\displaystyle{ Pmn2_{1} }[/math] [math]\displaystyle{ Pba2 }[/math] [math]\displaystyle{ Pna2_{1} }[/math] [math]\displaystyle{ Pnn2 }[/math] [math]\displaystyle{ Cmm2 }[/math] [math]\displaystyle{ Cmc2_{1} }[/math] [math]\displaystyle{ Ccc2 }[/math] [math]\displaystyle{ Amm2 }[/math] [math]\displaystyle{ Aem2 }[/math] [math]\displaystyle{ Ama2 }[/math] [math]\displaystyle{ Aea2 }[/math] [math]\displaystyle{ Fmm2 }[/math] [math]\displaystyle{ Fdd2 }[/math] [math]\displaystyle{ Imm2 }[/math] [math]\displaystyle{ Iba2 }[/math] [math]\displaystyle{ Ima2 }[/math] | [math]\displaystyle{ C_{2v} }[/math] | |
| 47-74 | [math]\displaystyle{ mmm }[/math] | 28 | [math]\displaystyle{ Pmmm }[/math] [math]\displaystyle{ Pnnn }[/math] [math]\displaystyle{ Pccm }[/math] [math]\displaystyle{ Pban }[/math] [math]\displaystyle{ Pmma }[/math] [math]\displaystyle{ Pnna }[/math] [math]\displaystyle{ Pmna }[/math] [math]\displaystyle{ Pcca }[/math] [math]\displaystyle{ Pbam }[/math] [math]\displaystyle{ Pccn }[/math] [math]\displaystyle{ Pbcm }[/math] [math]\displaystyle{ Pnnm }[/math] [math]\displaystyle{ Pmmn }[/math] [math]\displaystyle{ Pbcn }[/math] [math]\displaystyle{ Pbca }[/math] [math]\displaystyle{ Pnma }[/math] [math]\displaystyle{ Cmcm }[/math] [math]\displaystyle{ Cmce }[/math] [math]\displaystyle{ Cmmm }[/math] [math]\displaystyle{ Cccm }[/math] [math]\displaystyle{ Cmme }[/math] [math]\displaystyle{ Ccce }[/math] [math]\displaystyle{ Fmmm }[/math] [math]\displaystyle{ Fddd }[/math] [math]\displaystyle{ Immm }[/math] [math]\displaystyle{ Ibam }[/math] [math]\displaystyle{ Ibca }[/math] [math]\displaystyle{ Imma }[/math] | [math]\displaystyle{ D_{2h} }[/math] | |
| Тетрагональная система | |||||
| 75-80 | [math]\displaystyle{ 4 }[/math] | 6 | [math]\displaystyle{ P4 }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{1} }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{2} }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{3} }[/math] [math]\displaystyle{ I4 }[/math] [math]\displaystyle{ I4_{1} }[/math] | [math]\displaystyle{ C_{4} }[/math] |  [math]\displaystyle{ C_4 }[/math] Симметрия. |
| 81-82 | [math]\displaystyle{ \bar{4} }[/math] | 2 | [math]\displaystyle{ P\bar{4} }[/math] [math]\displaystyle{ I\bar{4} }[/math] | [math]\displaystyle{ S_{4} }[/math] | |
| 83-88 | [math]\displaystyle{ 4/m }[/math] | 6 | [math]\displaystyle{ P4/m }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{2}/m }[/math] [math]\displaystyle{ P4/n }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{2}/n }[/math] [math]\displaystyle{ I4/m }[/math] [math]\displaystyle{ I4_{1}/a }[/math] | [math]\displaystyle{ C_{4h} }[/math] | |
| 89-98 | [math]\displaystyle{ 422 }[/math] | 10 | [math]\displaystyle{ P422 }[/math] [math]\displaystyle{ P42_{1}2 }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{1}22 }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{1}2_{1}2 }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{2}22 }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{2}2_{1}2 }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{3}22 }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{3}2_{1}2 }[/math] [math]\displaystyle{ I422 }[/math] [math]\displaystyle{ I4_{1}22 }[/math] | [math]\displaystyle{ D_{4} }[/math] | |
| 99-110 | [math]\displaystyle{ 4mm }[/math] | 12 | [math]\displaystyle{ P4mm }[/math] [math]\displaystyle{ P4bm }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{2}cm }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{2}nm }[/math] [math]\displaystyle{ P4cc }[/math] [math]\displaystyle{ P4nc }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{2}mc }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{2}bc }[/math] [math]\displaystyle{ I4mm }[/math] [math]\displaystyle{ I4cm }[/math] [math]\displaystyle{ I4_{1}md }[/math] [math]\displaystyle{ I4_{1}cd }[/math] | [math]\displaystyle{ C_{4v} }[/math] | |
| 111-122 | [math]\displaystyle{ \bar{4}2m }[/math] | 12 | [math]\displaystyle{ P\bar{4}2m }[/math] [math]\displaystyle{ P\bar{4}2c }[/math] [math]\displaystyle{ P\bar{4}2_{1}m }[/math] [math]\displaystyle{ P\bar{4}2_{1}c }[/math] [math]\displaystyle{ P\bar{4}m2 }[/math] [math]\displaystyle{ P\bar{4}c2 }[/math] [math]\displaystyle{ P\bar{4}b2 }[/math] [math]\displaystyle{ P\bar{4}n2 }[/math] [math]\displaystyle{ I\bar{4}m2 }[/math] [math]\displaystyle{ I\bar{4}c2 }[/math] [math]\displaystyle{ I\bar{4}2m }[/math] [math]\displaystyle{ I\bar{4}2d }[/math] | [math]\displaystyle{ D_{2d} }[/math] | |
| 123-142 | [math]\displaystyle{ 4/mmm }[/math] | 20 | [math]\displaystyle{ P4/mmm }[/math] [math]\displaystyle{ P4/mcc }[/math] [math]\displaystyle{ P4/nbm }[/math] [math]\displaystyle{ P4/nnc }[/math] [math]\displaystyle{ P4/mbm }[/math] [math]\displaystyle{ P4/mnc }[/math] [math]\displaystyle{ P4/nmm }[/math] [math]\displaystyle{ P4/ncc }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{2}/mmc }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{2}/mcm }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{2}/nbc }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{2}/nnm }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{2}/mbc }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{2}/mnm }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{2}/nmc }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{2}/ncm }[/math] [math]\displaystyle{ I4/mmm }[/math] [math]\displaystyle{ I4/mcm }[/math] [math]\displaystyle{ I4_{1}/amd }[/math] [math]\displaystyle{ I4_{1}/acd }[/math] | [math]\displaystyle{ D_{4h} }[/math] |  Кристаллическая решётка циркона имеет [math]\displaystyle{ I4_1/amd }[/math] симметрию. |
| Тригональная система | |||||
| 143-146 | [math]\displaystyle{ 3 }[/math] | 4 | [math]\displaystyle{ P3 }[/math] [math]\displaystyle{ P3_{1} }[/math] [math]\displaystyle{ P3_{2} }[/math] [math]\displaystyle{ R3 }[/math] | [math]\displaystyle{ C_{3} }[/math] |  Молекула боразана обладает [math]\displaystyle{ C_{3v} }[/math] симметрией. |
| 147-148 | [math]\displaystyle{ \bar{3} }[/math] | 2 | [math]\displaystyle{ P\bar{3} }[/math] [math]\displaystyle{ R\bar{3} }[/math] | [math]\displaystyle{ C_{3i} }[/math] | |
| 149-155 | [math]\displaystyle{ 32 }[/math] | 7 | [math]\displaystyle{ P312 }[/math] [math]\displaystyle{ P321 }[/math] [math]\displaystyle{ P3_{1}12 }[/math] [math]\displaystyle{ P3_{1}21 }[/math] [math]\displaystyle{ P3_{2}12 }[/math] [math]\displaystyle{ P3_{2}21 }[/math] [math]\displaystyle{ R32 }[/math] | [math]\displaystyle{ D_{3} }[/math] | |
| 156-161 | [math]\displaystyle{ 3m }[/math] | 6 | [math]\displaystyle{ P3m1 }[/math] [math]\displaystyle{ P31m }[/math] [math]\displaystyle{ P3c1 }[/math] [math]\displaystyle{ P31c }[/math] [math]\displaystyle{ R3m }[/math] [math]\displaystyle{ R3c }[/math] | [math]\displaystyle{ C_{3v} }[/math] | |
| 162-167 | [math]\displaystyle{ \bar{3}m }[/math] | 6 | [math]\displaystyle{ P\bar{3}1m }[/math] [math]\displaystyle{ P\bar{3}1c }[/math] [math]\displaystyle{ P\bar{3}m1 }[/math] [math]\displaystyle{ P\bar{3}c1 }[/math] [math]\displaystyle{ R\bar{3}m }[/math] [math]\displaystyle{ R\bar{3}c }[/math] | [math]\displaystyle{ D_{3d} }[/math] | |
| Гексагональная система | |||||
| 168-173 | [math]\displaystyle{ 6 }[/math] | 6 | [math]\displaystyle{ P6 }[/math] [math]\displaystyle{ P6_{1} }[/math] [math]\displaystyle{ P6_{5} }[/math] [math]\displaystyle{ P6_{2} }[/math] [math]\displaystyle{ P6_{4} }[/math] [math]\displaystyle{ P6_{3} }[/math] | [math]\displaystyle{ C_{6} }[/math] |  Пчелиные соты обладают [math]\displaystyle{ C_{6h} }[/math] симметрией. |
| 174 | [math]\displaystyle{ \bar{6} }[/math] | 1 | [math]\displaystyle{ P\bar{6} }[/math] | [math]\displaystyle{ C_{3h} }[/math] | |
| 175-176 | [math]\displaystyle{ 6/m }[/math] | 2 | [math]\displaystyle{ P6/m }[/math] [math]\displaystyle{ P6_{3}/m }[/math] | [math]\displaystyle{ C_{6h} }[/math] | |
| 177-182 | [math]\displaystyle{ 622 }[/math] | 6 | [math]\displaystyle{ P622 }[/math] [math]\displaystyle{ P6_{1}22 }[/math] [math]\displaystyle{ P6_{5}22 }[/math] [math]\displaystyle{ P6_{2}22 }[/math] [math]\displaystyle{ P6_{4}22 }[/math] [math]\displaystyle{ P6_{3}22 }[/math] | [math]\displaystyle{ D_{6} }[/math] |  Нанотрубка может обладать [math]\displaystyle{ D_{6h} }[/math] симметрией. |
| 183-186 | [math]\displaystyle{ 6mm }[/math] | 4 | [math]\displaystyle{ P6mm }[/math] [math]\displaystyle{ P6cc }[/math] [math]\displaystyle{ P6_{3}cm }[/math] [math]\displaystyle{ P6_{3}mc }[/math] | [math]\displaystyle{ C_{6v} }[/math] | |
| 187-190 | [math]\displaystyle{ \bar{6}m2 }[/math] | 4 | [math]\displaystyle{ P\bar{6}m2 }[/math] [math]\displaystyle{ P\bar{6}c2 }[/math] [math]\displaystyle{ P\bar{6}2m }[/math] [math]\displaystyle{ P\bar{6}2c }[/math] | [math]\displaystyle{ D_{3h} }[/math] | |
| 191-194 | [math]\displaystyle{ 6/mmm }[/math] | 4 | [math]\displaystyle{ P6/mmm }[/math] [math]\displaystyle{ P6/mcc }[/math] [math]\displaystyle{ P6_{3}/mcm }[/math] [math]\displaystyle{ P6_{3}/mmc }[/math] | [math]\displaystyle{ D_{6h} }[/math] | |
| Кубическая система | |||||
| 195-199 | [math]\displaystyle{ 23 }[/math] | 5 | [math]\displaystyle{ P23 }[/math] [math]\displaystyle{ F23 }[/math] [math]\displaystyle{ I23 }[/math] [math]\displaystyle{ P2_{1}3 }[/math] [math]\displaystyle{ I2_{1}3 }[/math] | [math]\displaystyle{ T }[/math] |  Структура алмаза имеет [math]\displaystyle{ Fd\bar{3}m }[/math] симметрию. |
| 200-206 | [math]\displaystyle{ m\bar{3} }[/math] | 7 | [math]\displaystyle{ Pm\bar{3} }[/math] [math]\displaystyle{ Pn\bar{3} }[/math] [math]\displaystyle{ Fm\bar{3} }[/math] [math]\displaystyle{ Fd\bar{3} }[/math] [math]\displaystyle{ Im\bar{3} }[/math] [math]\displaystyle{ Pa\bar{3} }[/math] [math]\displaystyle{ Ia\bar{3} }[/math] | [math]\displaystyle{ T_h }[/math] | |
| 207-214 | [math]\displaystyle{ 432 }[/math] | 8 | [math]\displaystyle{ P432 }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{2}32 }[/math] [math]\displaystyle{ F432 }[/math] [math]\displaystyle{ F4_{1}32 }[/math] [math]\displaystyle{ I432 }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{3}32 }[/math] [math]\displaystyle{ P4_{1}32 }[/math] [math]\displaystyle{ I4_{1}32 }[/math] | [math]\displaystyle{ O }[/math] | |
| 215-220 | [math]\displaystyle{ \bar{4}3m }[/math] | 6 | [math]\displaystyle{ P\bar{4}3m }[/math] [math]\displaystyle{ F\bar{4}3m }[/math] [math]\displaystyle{ I\bar{4}3m }[/math] [math]\displaystyle{ P\bar{4}3n }[/math] [math]\displaystyle{ F\bar{4}3c }[/math] [math]\displaystyle{ I\bar{4}3d }[/math] | [math]\displaystyle{ T_{d} }[/math] | |
| 221-230 | [math]\displaystyle{ m\bar{3}m }[/math] | 10 | [math]\displaystyle{ Pm\bar{3}m }[/math] [math]\displaystyle{ Pn\bar{3}n }[/math] [math]\displaystyle{ Pm\bar{3}n }[/math] [math]\displaystyle{ Pn\bar{3}m }[/math] [math]\displaystyle{ Fm\bar{3}m }[/math] [math]\displaystyle{ Fm\bar{3}c }[/math] [math]\displaystyle{ Fd\bar{3}m }[/math] [math]\displaystyle{ Fd\bar{3}c }[/math] [math]\displaystyle{ Im\bar{3}m }[/math] [math]\displaystyle{ Ia\bar{3}d }[/math] | [math]\displaystyle{ O_{h} }[/math] | |
В других размерностях
У периодических структур в одномерном пространстве есть всего два типа симметрии. Они могут быть проиллюстрированы последовательностями символов:
... *- *- *- *- *- *- *- ... ... |^_^|^_^|^_^|^_^|^_^|^_^| ..
Первая бесконечная последовательность симметрична только относительно трансляции (на три символа), вторая последовательность симметрична ещё и относительно отражения.
В двумерном пространстве существует 17 типов симметрии периодических структур.
Количество групп симметрий произвольного n-мерного пространства описывается последовательностью A006227.
Последующая классификация
Группы можно разделить на симморфные и несимморфные. Симморфными называются такие симметрии, которые можно составить путём поворота вокруг осей, а также отражения от плоскостей, которые все проходят через одну точку. Симморфные пространственные группы содержат в качестве подгрупп точечные группы симметрии, отвечающие классу, к которому принадлежит данная пространственная группа.
Все 230 групп можно разделить на 32 класса. В каждом классе есть симметрия, оставляющая хотя бы одну точку пространства неподвижной. Количество элементов в классах колеблется от 1 до 28.
Классы можно разделить на системы (сингонии). Есть 7 сингоний. В каждой сингонии найдётся хотя бы одна предельная группа.
См. также
Литература
- International Tables for Crystallography. Volume A: Space-group symmetry / Edited by M. I. Aroyo. — International Union of Crystallography, 2016. — ISBN 978-0-470-97423-0.