Собственные элементы орбиты

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Собственные (свободные) элементы орбиты — параметры, характеризующие орбиту небесного тела при его движении под воздействием возмущений. Собственные элементы практически не меняются со временем, в отличие от оскулирующих элементов, которые непостоянны и в каждый момент времени определяются как обычные элементы орбиты в предположении, что возмущения отсутствуют. Таким образом, собственные элементы являются непосредственными характеристиками орбиты тела, не изменёнными внешними факторами.

Описание

Распределение разности между оскулирующим и собственным эксцентриситетом (вверху) и наклоном орбиты (внизу) для астероидов с большой полуосью орбиты 2—4 а.е.

Оскулирующие элементы

В задаче двух тел орбита небесного тела имеет вид конического сечения, а форма орбиты, её положение в пространстве и положение тела на ней однозначно описывается шестью параметрами, которые называются элементами орбиты. Один из возможных наборов элементов, который будет использоваться далее — большая полуось [math]\displaystyle{ a }[/math], эксцентриситет [math]\displaystyle{ e }[/math], наклонение [math]\displaystyle{ I }[/math], долгота восходящего узла [math]\displaystyle{ \Omega }[/math], долгота перицентра [math]\displaystyle{ \varpi }[/math] и средняя долгота [math]\displaystyle{ \lambda }[/math][комм. 1][2][3][4].

Однако при наличии более чем двух тел в системе взаимодействие между ними приводит к тому, что орбиты тел уже не описываются таким способом. На практике, например, в Солнечной системе орбиты планет не слишком отличаются от конических сечений, и их можно описать обычными элементами орбиты, однако в этом случае они меняются со временем. Для каждого момента времени элементы орбиты, которые бы точно описывали движение тела, если бы в этот момент все возмущения исчезли, называются оскулирующими элементами орбиты[3].

Возмущающая функция

Возмущающая функция представляет собой потенциал гравитационного взаимодействия с другими телами системы, кроме центрального[комм. 2][7]. От неё зависит изменение оскулирующих элементов со временем: эта связь выражается посредством планетных уравнений Лагранжа[8].

Для оценки того, как изменяются элементы орбиты со временем, можно представить систему с массивным центральным телом и двумя телами значительно меньшей массы. Тогда можно рассмотреть, как будет двигаться тело пренебрежимо малой массы — пробная частица — в поле тяготения центрального тела, с учётом возмущений от двух других тел. Возмущающую функцию для пробной частицы можно приближённо выразить через элементы орбит[комм. 3][10]:

[math]\displaystyle{ R = na^2 \left[\frac{1}{2} Ae^2 + \frac{1}{2} BI^2 + \sum_{j=1}^2 A_j ee_j \cos(\varpi - \varpi_j) + \sum_{j=1}^2 B_j II_j \cos(\Omega - \Omega_j)\right], }[/math]

где [math]\displaystyle{ n }[/math] — среднее движение (средняя угловая скорость движения по орбите)[11], элементы орбиты без индексов относятся к пробной частице, с индексами — к возмущающим телам. Значения [math]\displaystyle{ A, A_j, B, B_j }[/math] приведены ниже[12]:

[math]\displaystyle{ A = n \frac{1}{4} \sum_{j=1}^2 \frac{m_j}{m_c} \alpha_j \bar \alpha_j b_{3/2}^{(1)} (\alpha_j), }[/math]
[math]\displaystyle{ A_j = -n \frac{1}{4} \frac{m_j}{m_c} \alpha_j \bar \alpha_j b_{3/2}^{(2)} (\alpha_j), }[/math]
[math]\displaystyle{ B = -n \frac{1}{4} \sum_{j=1}^2 \frac{m_j}{m_c} \alpha_j \bar \alpha_j b_{3/2}^{(1)} (\alpha_j), }[/math]
[math]\displaystyle{ B_j = n \frac{1}{4} \frac{m_j}{m_c} \alpha_j \bar \alpha_j b_{3/2}^{(1)} (\alpha_j). }[/math]

В данных формулах [math]\displaystyle{ m_j, m_c }[/math] — массы, соответственно, возмущающего тела с индексом [math]\displaystyle{ j }[/math] и центрального тела. [math]\displaystyle{ b_s^{(j)}(\alpha) }[/math] — коэффициенты Лапласа, определяемые следующим образом[13]:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} b_s^{(j)}(\alpha) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} \frac{\cos j \psi d \psi}{(1 - 2 \alpha \cos \psi + \alpha^2)^s}. }[/math]

Символы [math]\displaystyle{ \alpha_j, \bar \alpha_j }[/math] означают[12]:

[math]\displaystyle{ \alpha_j = \begin{cases} a_j \lt a: a_j / a \\ a_j \gt a: a / a_j \\ \end{cases}, }[/math]
[math]\displaystyle{ \bar \alpha_j = \begin{cases} a_j \lt a: 1 \\ a_j \gt a: a / a_j \\ \end{cases}. }[/math]

Далее производится переход от элементов орбиты к следующим коэффициентам, поскольку в них планетные уравнения Лагранжа записываются более удобным образом[14]:

[math]\displaystyle{ h = e \sin \varpi, }[/math]
[math]\displaystyle{ k = e \cos \varpi, }[/math]
[math]\displaystyle{ p = I \sin \Omega, }[/math]
[math]\displaystyle{ q = I \cos \Omega. }[/math]

Аналогичным образом определяются коэффициенты [math]\displaystyle{ h_j, k_j, p_j, q_j }[/math] для возмущающих тел. Тогда выражение для [math]\displaystyle{ R }[/math] записываются в следующем виде[15]:

[math]\displaystyle{ R = na^2 \left[\frac{1}{2} A(h^2 + k^2) + \frac{1}{2} B(p^2 + q^2) + \sum_{j=1}^2 A_j (hh_j + kk_j) + \sum_{j=1}^2 B_j (pp_j + qq_j)\right]. }[/math]

Планетные уравнения Лагранжа в коэффициентах [math]\displaystyle{ h, k, p, q }[/math] записываются как[12]:

[math]\displaystyle{ \dot h = \frac{1}{na^2} \frac{\partial R}{\partial k} = Ak + \sum_{j=1}^2 A_j k_j, }[/math]
[math]\displaystyle{ \dot k = - \frac{1}{na^2} \frac{\partial R}{\partial h} = - Ah - \sum_{j=1}^2 A_j h_j, }[/math]
[math]\displaystyle{ \dot p = \frac{1}{na^2} \frac{\partial R}{\partial q} = Bq + \sum_{j=1}^2 B_j q_j, }[/math]
[math]\displaystyle{ \dot q = - \frac{1}{na^2} \frac{\partial R}{\partial p} = - Bp - \sum_{j=1}^2 B_j p_j, }[/math]

где точка над символом означает производную по времени. Величины [math]\displaystyle{ h_j, k_j, p_j, q_j }[/math]определяются при анализе движения возмущающих тел под воздействием центрального тела и другого возмущающего тела, и с учётом этого система дифференциальных уравнений имеет решение[16]:

[math]\displaystyle{ h = e_\text{free} \sin (At + \beta) + h_0(t), }[/math]
[math]\displaystyle{ k = e_\text{free} \cos (At + \beta) + k_0(t), }[/math]
[math]\displaystyle{ p = I_\text{free} \sin (Bt + \gamma) + p_0(t), }[/math]
[math]\displaystyle{ q = I_\text{free} \cos (At + \gamma) + q_0(t). }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ t }[/math] — время, а [math]\displaystyle{ e_\text{free}, I_\text{free}, \beta, \gamma }[/math] — константы, которые зависят из начальных условий. [math]\displaystyle{ h_0, k_0, p_0, q_0 }[/math] — величины, зависящие от параметров орбиты возмущающих тел, а также от большой полуоси орбиты пробной частицы, но не от других элементов орбиты. Последние четыре параметра меняются со временем. Такие же по форме решения получаются и при рассмотрении большего количества возмущающих тел[17].

Собственные элементы

Полученные решения имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Для этого вводятся следующие величины[18]:

[math]\displaystyle{ e_\text{forced} = \sqrt{h_0^2 + k_0^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ I_\text{forced} = \sqrt{p_0^2 + q_0^2} }[/math]

Сначала можно рассмотреть отдельно решение [math]\displaystyle{ \{h, k\} }[/math]. Из определения данных величин следует, что точка на плоскости [math]\displaystyle{ (k, h) }[/math] имеет радиус-вектор, по модулю равный [math]\displaystyle{ e }[/math] и образует угол [math]\displaystyle{ \varpi }[/math] с осью [math]\displaystyle{ k }[/math]. С учётом вида этого решения можно представить его как сумму двух векторов: первый соединяет начало координат с точкой [math]\displaystyle{ (h_0, k_0) }[/math], имеет модуль [math]\displaystyle{ e_\text{forced} }[/math] и образует угол, который можно назвать [math]\displaystyle{ \varpi_\text{forced} }[/math], с осью [math]\displaystyle{ k }[/math]. Второй вектор соединяет точки [math]\displaystyle{ (h_0, k_0) }[/math] с [math]\displaystyle{ (h, k) }[/math], имеет модуль [math]\displaystyle{ e_\text{free} }[/math] и составляет угол [math]\displaystyle{ \varpi_\text{free} = At + \beta }[/math] с осью [math]\displaystyle{ k }[/math][18].

Таким образом, изменение оскулирующих элементов орбиты частицы можно представить как движение в плоскости [math]\displaystyle{ (k, h) }[/math]. В этих координатах частица равномерно движется по окружности с радиусом [math]\displaystyle{ e_\text{free} }[/math] вокруг точки [math]\displaystyle{ (h_0, k_0) }[/math], которая, в свою очередь, перемещается сложным образом. Аналогичные рассуждения и выводы можно получить для решения [math]\displaystyle{ \{p, q\} }[/math]. Значения [math]\displaystyle{ e_\text{free}, I_\text{free}, \varpi_\text{free}, \Omega_\text{free} }[/math] называются собственными (или свободными) элементами орбиты, которые практически не изменяются со временем[комм. 4] и их можно считать фундаментальными свойствами орбиты частицы. Значения [math]\displaystyle{ e_\text{forced}, I_\text{forced}, \varpi_\text{forced}, \Omega_\text{forced} }[/math] называют вынужденными элементами — они меняются со временем и зависят от возмущений[20].

Проведённый выше анализ не показывает различий между оскулирующей и собственной большую полуосью орбиты, поскольку в нём не принимались во внимание короткопериодические возмущения, однако только такие возмущения влияют на большую полуось. Поскольку на длительных промежутках времени вклад короткопериодических возмущений «усредняется» и сводится к нулю, большая полуось не демонстрирует долговременных изменений[19][21].

Собственные элементы являются квази-интегралами движения и остаются неизменными в течение очень длительного времени. Они отражают некоторым образом «усреднённые» по времени характеристики движения небесного тела, в которых исключено влияние коротко- и долгопериодических возмущений[22].

Существуют различные способы вычисления собственных элементов на основе наблюдаемых величин. В общих чертах для этого сначала составляется модель сил, действующих на исследуемое тело, производится усреднение элементов орбиты по времени, чтобы избавиться от влияния короткопериодических возмущений, а затем производится вычисление остальных возмущений и вычитание вынужденных элементов из оскулирующих[19][22][23].

Собственные элементы широко используются для изучения, например, динамики пояса астероидов, а также для разделения астероидов на семейства (см. ниже[⇨])[22][23]. В следующей таблице представлены собственные и оскулирующие элементы Цереры на эпоху MJD 59800,0 (9 августа 2022 года)[24][25]:

Элементы орбиты Цереры
[math]\displaystyle{ a }[/math], а.е. [math]\displaystyle{ e }[/math] [math]\displaystyle{ i }[/math], °
Собственные 2,7612 0,115 9,660
Оскулирующие 2,7666 0,0786 10,587

Семейства Хираямы

Диаграммы, показывающие соотношение между оскулирующими (слева) и собственными (справа) эксцентриситетом и наклоном орбиты астероидов. Для собственных элементов хорошо видны скучивания — семейства Хираямы
Основная статья: Семейство Хираямы

В 1918 году Киёцугу Хираяма построил диаграммы ([math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ e }[/math]) и ([math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ i }[/math]) для известных астероидов и обнаружил, что в некоторых областях на диаграмме наблюдается скучивание. Первоначально Хираяма строил диаграммы для оскулирующих элементов, но впоследствии использовал собственные элементы, на которых скучивание было заметно более явно[19][22][26].

Таким способом было выделено множество семейств, например, семейства Фемиды, Эос, Корониды, Марии. Считается, что семейства астероидов возникают при полном или частичном разрушении «родительского» астероида в результате столкновения: фрагменты приобретают небольшую относительную скорость по сравнению со скоростью движения по орбите, и остаются близко друг к другу в фазовом пространстве собственных элементов орбиты на протяжении длительного времени[23].

Примечания

Комментарии

  1. ↑ Для последних двух величин верны выражения [math]\displaystyle{ \varpi = \Omega + \omega }[/math] и [math]\displaystyle{ \lambda = M + \varpi }[/math], где [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — аргумент перицентра, [math]\displaystyle{ M }[/math] — средняя аномалия[1].
  2. ↑ В более общем смысле возмущающей функцией можно также описывать все элементы гравитационного потенциала сверх того, который возникает в модели точечного или сферически симметричного центрального тела. Например, если центральное тело имеет сплюснутую форму, то вызванные этим отличия потенциала также можно описывать возмущающей функцией[5][6].
  3. ↑ В данной формуле не рассматриваются члены, включающие в себя среднюю долготу. Данная величина изменяется быстро — со скоростью движения объектов по орбите, и на длительных промежутках времени вклад связанных с ней возмущений «усредняется» и сводится к нулю[9].
  4. ↑ Значения [math]\displaystyle{ \varpi_\text{free}, \Omega_\text{free} }[/math] меняются со временем, но равномерно, поэтому для полного описания системы достаточно добавить величины, описывающие скорость изменения этих элементов — частоты, соответственно, [math]\displaystyle{ g }[/math] и [math]\displaystyle{ s }[/math][19].

Источники

  1. ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 52, 67.
  2. ↑ Кононович, Мороз, 2004, с. 64—66.
  3. ↑ 3,0 3,1 Karttunen et al., 2016, pp. 126—128.
  4. ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 241.
  5. ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 277.
  6. ↑ Кононович, Мороз, 2004, с. 70—72.
  7. ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 238—240, 277.
  8. ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 263—265.
  9. ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 261—263, 265, 272.
  10. ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 287, 295.
  11. ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 48.
  12. ↑ 12,0 12,1 12,2 Мюррей, Дермотт, 2010, с. 296.
  13. ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 248, 296.
  14. ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 289—290, 296.
  15. ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 296—297.
  16. ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 297.
  17. ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 297—298, 318.
  18. ↑ 18,0 18,1 Мюррей, Дермотт, 2010, с. 298.
  19. ↑ 19,0 19,1 19,2 19,3 Knezevic Z., Lemaître A., Milani A. The Determination of Asteroid Proper Elements. — 2002-03-01.
  20. ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 295—300, 320.
  21. ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 261—263, 265—272.
  22. ↑ 22,0 22,1 22,2 22,3 Knežević Z., Milani A. Asteroid Proper Elements: The Big Picture (англ.) // Symposium - International Astronomical Union. — 1994/ed. — Vol. 160. — P. 143–158. — ISSN 0074-1809. — doi:10.1017/S0074180900046519.
  23. ↑ 23,0 23,1 23,2 Knežević Z. Computation of Asteroid Proper Elements: Recent Advances // Serbian Astronomical Journal. — 2017-12-01. — Т. 194. — С. 1–8. — doi:10.2298/SAJ170407005K.
  24. ↑ (1) Ceres Summary. AstDyS. Дата обращения: 1 ноября 2022.
  25. ↑ (1) Ceres Proper elements. AstDyS. Дата обращения: 1 ноября 2022.
  26. ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 320.

Литература

  • Мюррей К., Дермотт С. Динамика Солнечной системы / пер. с англ. под ред. И. И. Шевченко. — М.: Физматлит, 2010. — 588 с. — ISBN 978-5-9221-1121-8.
  • Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии. — 2-е изд., испр. — М.: УРСС, 2004. — 544 с. — ISBN 5-354-00866-2.
  • Karttunen H., Kroger P., Oja H., Poutanen M., Donner K. J. Fundamental Astronomy. — 6th Edition. — Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 2016. — 550 p. — ISBN 978-3-662-53045-0.


Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Собственные_элементы_орбиты&oldid=18459290