Сингулярное распределение
Сингулярное распределение (по отношению к мере [math]\displaystyle{ \mu }[/math]) — это распределение вероятностей, которое сосредоточено на множестве [math]\displaystyle{ M }[/math] таком, что [math]\displaystyle{ \mu(M)=0 }[/math]. Однако часто используют более узкое определение, гласящее, что сингулярным называют распределение в пространстве [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math], сосредоточенное на множестве нулевой меры Лебега и приписывающее каждому одноточечному множеству нулевую вероятность[1]. Важно отметить, что согласно общему определению любое дискретное распределение является сингулярным по отношению к мере Лебега, но в частном определении дискретные распределения выведены из множества сингулярных.
Для одномерного пространства также можно утверждать, что распределение сингулярно, если множество точек роста у функции распределения имеет нулевую меру.
Свойства
Сингулярное распределение не может являться абсолютно непрерывным (по теореме Радона — Никодима).
Любое вероятностное распределение [math]\displaystyle{ F }[/math] может быть представлено в виде следующей суммы:
- [math]\displaystyle{ F=pF_{s}+qF_{ac} }[/math],
где [math]\displaystyle{ \quad p\geqslant 0 }[/math], [math]\displaystyle{ q\geqslant 0 }[/math], [math]\displaystyle{ p+q=1 }[/math], распределение [math]\displaystyle{ F_{s} }[/math] — сингулярно по отношению к мере [math]\displaystyle{ \mu }[/math], а распределение [math]\displaystyle{ F_{ac} }[/math] — абсолютно непрерывно по отношению к этой же мере[2].
Примеры
Простейшим примером сингулярного распределения является распределение, сосредоточенное на канторовом множестве (его функцией распределения является лестница Кантора).
Более часто встречающимся в практических задачах сингулярным распределением является распределение случайных направлений в двухмерном евклидовом пространстве[2]. Случайное направление соответствует единичному вектору, повёрнутому на случайный угол относительно вектора [math]\displaystyle{ (1,0) }[/math]. Выбор случайного направления равнозначен выбору случайной точки на единичной окружности, которая, в свою очередь, имеет нулевую площадь, следовательно, это распределение — сингулярно.
Примечания
- ↑ Сингулярное распределение // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.
- ↑ 2,0 2,1 Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — Т. 2. — С. 177—179.