Свойство удвоения
Свойство удвоения — условие, накладываемое на меры, определённые на метрических пространствах, а также на сами метрические пространства.
Определения
Меры
Напомним, что в произвольном метрическом пространстве [math]\displaystyle{ B(x,r) }[/math] обозначает шар с центром [math]\displaystyle{ x }[/math] и радиусом [math]\displaystyle{ r }[/math].
Ненулевая мера [math]\displaystyle{ \mu }[/math] на метрическом пространстве удовлетворяет свойству удвоения, если существует постоянная [math]\displaystyle{ C }[/math] такая, что
- [math]\displaystyle{ 0\lt \mu[B(x,2\cdot r)]\leq C\cdot\mu[B(x,r)]\lt \infty }[/math]
для всех [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ r\gt 0 }[/math].
Метрические пространства
Метрическое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] удовлетворяет свойству удвоения, если существует постоянная [math]\displaystyle{ M }[/math], такая, что любой шар радиуса [math]\displaystyle{ r }[/math] в [math]\displaystyle{ X }[/math] можно покрыть [math]\displaystyle{ M }[/math] шарами радиуса [math]\displaystyle{ r/2 }[/math].[1]
Замечания
Иногда рассматривается более слабый вариант свойства удвоение при котором требуется, что радиус [math]\displaystyle{ r }[/math] не превышает некоторой положительной константы [math]\displaystyle{ r_0 }[/math].
Свойства
- Любое метрическое пространство с мерой, удовлетворяющей свойству удвоения, само удовлетворяет свойству удвоения.
- И наоборот, на любом полном метрическом пространстве со свойством удвоения существует мера со свойством удвоения.[2]
- (Теорема Асада) Пусть метрическое пространство [math]\displaystyle{ (X,d) }[/math] удовлетворяет свойству удвоения, тогда для любого [math]\displaystyle{ 0\lt \alpha\lt 1 }[/math], пространство [math]\displaystyle{ (X,d^\alpha) }[/math] допускает билипшицево вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности.
- Для метрических пространств со свойством удвоения выполняется слабый вариант теоремы Киршбрауна. А именно, если [math]\displaystyle{ X }[/math] — метрическое пространство со свойством удвоения и [math]\displaystyle{ A\subset X }[/math] и [math]\displaystyle{ V }[/math] — банахово пространство, то любое [math]\displaystyle{ L }[/math]-Липшицево отображение [math]\displaystyle{ A\to V }[/math] продолжается до [math]\displaystyle{ C\cdot L }[/math]-Липшицева отображения [math]\displaystyle{ X\to V }[/math], где константа [math]\displaystyle{ C }[/math] зависит только от параметра в свойстве удвоения.[3]
Примеры
- Мера Лебега в евклидовом пространстве удовлетворяет свойству удвоения. Постоянная равна [math]\displaystyle{ \tfrac1{2^m} }[/math], где [math]\displaystyle{ m }[/math] обозначает размерность.
Примечания
- ↑ Heinonen, Juha. Lectures on Analysis on Metric Spaces (неопр.). — New York: Springer-Verlag, 2001. — С. x+140. — ISBN 0-387-95104-0.
- ↑ Luukainen, Jouni. Every complete doubling metric space carries a doubling measure (англ.) // Proc. Amer. Math. Soc. : journal. — 1998. — Vol. 126. — P. 531—534. — doi:10.1090/s0002-9939-98-04201-4.
- ↑ 4.1.21 в Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.