Ряд Мёбиуса

Не следует путать с функцией Мертенса — которую иногда в литературе также называют «рядом Мёбиуса».

Ряд Мёбиуса — функциональный ряд вида:

[math]\displaystyle{ F(x)=\sum_{s=1}^\infty \frac{f(sx)}{s^n} }[/math],

примечательный тем, что был исследован Мёбиусом в 1832 году, и послужил одной из мотиваций для введения функции Мёбиуса [math]\displaystyle{ \mu(s) }[/math], в дальнейшем получившей множество применений в теории чисел и смежных областях. Формула обращения для ряда, которую обнаружил Мёбиус:

[math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{s=1}^\infty \mu(s)\frac{F(sx)}{s^n} }[/math].

Наряду с формулами обращения Мёбиуса для конечных функциональных рядов, данное обращение является прямым следствием свойств свёртки Дирихле, в связи с тем, что функция Мёбиуса является обращением Дирихле единичной функции, то есть [math]\displaystyle{ 1*\mu=\epsilon }[/math], где [math]\displaystyle{ * }[/math] — свёртка Дирихле, а [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] — единица кольца Дирихле.

Литература

• Möbius A. F. Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1832. — С. 105—123.
• Мёбиуса ряд — статья из Математической энциклопедии. В. М. Бредихин; см. также комментарии к английскому переводу статьи: Möbius series (неопр.). Encyclopedia of Mathematics.