Регулярные тепловые режимы
Для того чтобы ввести понятие регулярного теплового режима, рассмотрим процесс охлаждения (нагрева) в среде с постоянной температурой произвольного по форме однородного и изотропного тела, начальное распределение температур в котором в начальный момент времени τ = 0 задано известной функцией координат f(x, y, z,0)=T0. В целях упрощения записи будем, не уменьшая общности, считать температуру окружающей среды Tf = const. Уравнение теплопроводности в безразмерных переменных записывается как:
- [math]\displaystyle{ {\partial\Theta\over\partial Fo}=\nabla^2\Theta }[/math] [1], где
- [math]\displaystyle{ \mathit{\Theta} = \frac{T-T_f}{T_0-T_f} }[/math] — безразмерная температура
- T = текущая температура тела
- Tf = температура среды
- T0 = начальная температура тела
- Fo = Число Фурье
Решением данного уравнения при изложенных выше условиях является ряд вида:
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty A_n \phi_n exp(-m_nFo) }[/math],
где [math]\displaystyle{ \phi_n=\phi_n(\overline{x},\overline{y},\overline{z}, Bi) }[/math] (где Bi — число Био), а [math]\displaystyle{ A_n }[/math] зависит от начальных условий. Рассматривая поведение данного ряда с течением времени (то есть с ростом Fo), приходим к выводу, что члены [math]\displaystyle{ m_1,m_2...m_n }[/math] убывают во времени, причём с неодинаковой скоростью. Члены высших порядков убывают быстрее и через некоторое время становятся пренебрежимо малы. Поэтому температура в любой точке тела задолго до достижения им температуры окружающей среды будет определяться, по существу, первым членом ряда, то есть следовать простому экспоненциальному закону:
- [math]\displaystyle{ \Theta = A_1 \phi exp(-m_1Fo) }[/math].
Момент, когда изменение температуры всех точек тела можно считать следующим этому простому закону, называют началом регулярного, то есть упорядоченного режима. В зависимости от характера изменения температуры окружающей среды Tf во времени различают регулярные режимы трёх родов. [2]
Регулярный режим первого рода
Рассмотренное выше условие Tf=const определяет регулярный режим первого рода. Признак регуляризации режима 1-го рода состоит в том, что изменение температуры в каждой точке системы происходит по экспоненте, одинаковой для всех точек:
- [math]\displaystyle{ T-T_f=C_1\nu exp(-m\tau) }[/math], [math]\displaystyle{ C_1=const }[/math], [math]\displaystyle{ \nu=\nu(x,y,z) }[/math],
где m — темп нагрева, который для малых чисел Био (Bi<<1) определяется как:
- [math]\displaystyle{ m=-{\partial ln(T-T_f)\over\partial \tau}=-\frac{\alpha F}{\rho cV} }[/math], где
- F — площадь поверхности тела
- α — коэффициент теплоотдачи
- ρ — плотность тела
- c — теплоёмкость тела.
Для произвольных Bi вводится коэффициент неравномерности температурного поля ψ, который можно определить как отношение средней по поверхности безразмерной температуры к средней безразмерной температуре по объёму. В предельном случае, когда число Био стремится к бесконечности, ψ=0 Тогда выражение для темпа нагрева принимает вид:
- [math]\displaystyle{ m=-{\partial ln(T-T_f)\over\partial \tau}=-\psi\frac{\alpha F}{\rho cV} }[/math][2].
Регулярный режим второго рода
Наступает, когда скорость изменения температуры становится, во-первых, постоянной, общей для всех точек тела, и, во-вторых, равной скорости изменения температуры внешней среды:
- [math]\displaystyle{ {\partial T\over\partial \tau}={\partial T_f\over\partial \tau}=b }[/math][2]
Регулярный режим третьего рода
Регулярный режим третьего рода реализуется в случае гармонических колебаний температуры среды около некоторой средней температуры.
- [math]\displaystyle{ T_f=T_{f0}+Acos(\omega\tau) }[/math]
Температура любой точки тела колеблется около своего среднего значения с тем же периодом, что и температура окружающей среды, то есть с периодом, одинаковым для всех точек тела:
- [math]\displaystyle{ T=Psin(\omega\tau)+Qcos(\omega\tau)=T_0+Bcos(\omega\tau-\phi) }[/math]
где φ, T0, P, Q, B — функции координат. (Эти колебания происходят с иной амплитудой, а также могут быть смещены по фазе по сравнению с колебаниями температуры окружающей среды.)[2]
См. также
Ссылки
- ↑ Тепловодность при нестационарном режиме, часть 1. Дата обращения: 5 мая 2008. Архивировано 4 марта 2016 года.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 Тепловодность при нестационарном режиме, часть 3. Дата обращения: 5 мая 2008. Архивировано 6 марта 2009 года.