Противоположная теорема

Противоположная теорема — это утверждение, в котором условие и заключение исходной теоремы заменены их отрицаниями. Каждая теорема может быть выражена в форме импликации [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math], в которой посылка [math]\displaystyle{ A }[/math] является условием теоремы, а следствие [math]\displaystyle{ B }[/math] является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде [math]\displaystyle{ \overline{A} \Rightarrow \overline{B} }[/math] является противоположной к ней. Здесь [math]\displaystyle{ \overline{A} }[/math] — отрицание [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{B} }[/math] — отрицание [math]\displaystyle{ B }[/math]. Доказательство необходимости и достаточности условий [math]\displaystyle{ A }[/math] теоремы [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math] для её заключения [math]\displaystyle{ B }[/math] сводится к доказательству одной из двух противоположных теорем ([math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math] и [math]\displaystyle{ \overline{A} \Rightarrow \overline{B} }[/math]; [math]\displaystyle{ B \Rightarrow A }[/math] и [math]\displaystyle{ \overline{B} \Rightarrow \overline{A} }[/math]) или одной из двух обратных теорем ([math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math] и [math]\displaystyle{ B \Rightarrow A }[/math]; [math]\displaystyle{ \overline{A} \Rightarrow \overline{B} }[/math] и [math]\displaystyle{ \overline{B} \Rightarrow \overline{A} }[/math]).

Если условие и/или заключение теоремы являются сложными суждениями, то противоположная теорема допускает множество не равносильных друг другу формулировок. Например, если условием теоремы является [math]\displaystyle{ A }[/math], а заключением [math]\displaystyle{ Y \Rightarrow Z }[/math]: [math]\displaystyle{ A \Rightarrow (Y \Rightarrow Z) }[/math], то для противоположной теоремы существует пять форм:

1. [math]\displaystyle{ \overline{A} \Rightarrow (\overline{Y \Rightarrow Z}) }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \overline{Y} \Rightarrow (\overline{A \Rightarrow Z}) }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \overline{A \And Y} \Rightarrow \overline{Z} }[/math]
4. [math]\displaystyle{ A \Rightarrow (\overline{Y} \Rightarrow \overline{Z}) }[/math]
5. [math]\displaystyle{ Y \Rightarrow (\overline{A} \Rightarrow \overline{Z}) }[/math]

Свойства

• Прямая теорема эквивалентна теореме, противоположной обратной: [math]\displaystyle{ ( A \Rightarrow B ) \Leftrightarrow ( \overline{B} \Rightarrow \overline{A} ) }[/math]
• Обратная теорема эквивалентна противоположной прямой: [math]\displaystyle{ ( B \Rightarrow A ) \Leftrightarrow ( \overline{A} \Rightarrow \overline{B} ) }[/math]

Примеры

• Теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ c }[/math] угол, противолежащий стороне [math]\displaystyle{ c }[/math], прямой, то [math]\displaystyle{ a^2+b^2=c^2 }[/math].

Противоположная к теореме Пифагора теорема может быть сформулирована следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ c }[/math] угол, противолежащий стороне [math]\displaystyle{ c }[/math], не является прямым, то [math]\displaystyle{ a^2+b^2 \neq c^2 }[/math].

См. также

• Обратная теорема

Литература

• Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
• Градштейн И.С. Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики. — М.: Наука, 1965. — 127 с.