Проекция Меркатора

Карта мира между 85° ю. ш. и 85° с. ш. в проекции Меркатора

Соотношения между площадью каждой страны в проекции Меркатора и истинной площадью

Равноуго́льная цилиндри́ческая прое́кция Мерка́тора — одна из основных картографических проекций. Разработана Герардом Меркатором для применения в его «Атласе». «Равноугольная» в названии проекции подчёркивает то, что проекция сохраняет углы между направлениями. Все локсодромы в ней изображаются прямыми линиями. Меридианы в проекции Меркатора представляются параллельными равноотстоящими линиями. Параллели же представляют собой параллельные линии, расстояние между которыми вблизи экватора равно расстоянию между меридианами и быстро увеличивается при приближении к полюсам. Сами полюсы не могут быть изображены на проекции Меркатора (это обусловлено особенностями функции, отображающей координаты на сфере на координаты на плоскости), поэтому обычно карту в проекции Меркатора ограничивают областями до 80—85° северной и южной широты.

Карта мира Меркатора 1569 года

Масштаб на карте в этой проекции не является постоянным, он увеличивается от экватора к полюсам (как обратный косинус широты), однако масштабы по вертикали и по горизонтали всегда равны, чем, собственно, и достигается равноугольность проекции. На картах в данной проекции всегда указывается, к какой параллели относится основной масштаб карты.

Поскольку проекция Меркатора имеет различный масштаб на разных участках, эта проекция не сохраняет площади. Если основной масштаб относится к экватору, то наибольшие искажения размеров объектов будут у полюсов. Это хорошо заметно на картах в этой проекции: на них Гренландия кажется в 2—3 раза больше Австралии и сравнима по размерам с Южной Америкой. В реальности Гренландия втрое меньше Австралии и в 8 раз меньше Южной Америки.

Искажения площадей в проекции Меркатора

Проекция Меркатора оказалась весьма удобной для нужд мореходства, особенно в старые времена. Объясняется это тем, что траектория движения корабля, идущего под одним и тем же румбом к меридиану (то есть с неизменным положением стрелки компаса относительно шкалы) изображается прямой линией на карте в проекции Меркатора.

Математическое выражение проекции Меркатора

Карта мира в проекции Меркатора с координатными линиями, проведёнными через 20°

Для начала рассмотрим простейший вариант проекции Меркатора: проекцию сферы на цилиндр. Этот вариант не учитывает сплюснутости Земли у полюсов. Цилиндричность проекции сразу даёт нам выражение для горизонтальной координаты на карте: она просто пропорциональна долготе точки [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] (при использовании в расчетах следует учесть, что выражаться эта величина должна в радианах):

[math]\displaystyle{ x=c(\lambda-\lambda_0). }[/math]

Условие равноугольности — это просто равенство масштабов по горизонтальной и вертикальной оси. Поскольку масштаб по оси X на широте [math]\displaystyle{ \theta }[/math] равен просто [math]\displaystyle{ c/(R\cos\theta) }[/math] (R — радиус Земли), то из условия [math]\displaystyle{ dy R\cos\theta/c= R d\theta }[/math] мы получаем выражение для зависимости y от [math]\displaystyle{ \theta }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} y &=& c \ln\operatorname{tg}\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\\ &=& c \,\operatorname{arth}\sin\theta. \end{matrix} }[/math]

(Здесь arth — обратный гиперболический тангенс).

Функция [math]\displaystyle{ \operatorname{arth}\sin\theta }[/math] носит специальное название функции Ламберта, или ламбертиана (в честь Иоганна Ламберта) и иногда обозначается как [math]\displaystyle{ \operatorname{lam}\theta }[/math] или [math]\displaystyle{ \operatorname{arcgd}\theta }[/math] (см. также Интеграл от секанса).

Обратное преобразование (из линейной координаты y в широту θ) носит название функции Гудермана, или гудерманиана (в честь Кристофа Гудермана) и обозначается [math]\displaystyle{ \operatorname{gd} y. }[/math] Обратное преобразование координаты x в долготу λ является, как и прямое преобразование, линейной функцией:

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} \theta &=& \operatorname{gd} y = 2\operatorname{arctg} \left( e^{y/c} \right) - \frac{1} {2} \pi \\ \\ \ &=& \operatorname{arctg} \left( \operatorname{sh} (y/c) \right), \\ \\ \lambda &=& x/c + \lambda_0. \end{matrix} }[/math]

Теперь нетрудно получить выражения для равноугольной проекции с учётом эллипсоидальной формы Земли. Для этого надо записать метрическую форму для эллипсоида (a — большая полуось, b — малая полуось) в географических координатах

[math]\displaystyle{ dl^2=\frac{a^2 d\lambda^2}{1+\frac{a^2}{b^2}\operatorname{tg}^2\theta}+\frac{b^4}{a^2}\frac{d\theta^2}{(\cos^2\theta+\frac{b^2}{a^2}\sin^2\theta)^3}, }[/math]

перейти в ней к координатам x и y и приравнять масштабы по осям. После интегрирования получаем

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} x &=& c(\lambda-\lambda_0)\\ y &=& c [\operatorname{arth}\sin\theta-\varepsilon\operatorname{arth}(\varepsilon\sin\theta)]. \end{matrix} }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \varepsilon=\sqrt{a^2-b^2}/a }[/math] — эксцентриситет земного эллипсоида.

Обратное преобразование, вообще говоря, не выражается в элементарных функциях, но уравнение для обратного преобразования легко решить методом теории возмущений по малому [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]. Итерационная формула для обратного преобразования имеет следующий вид:

[math]\displaystyle{ \theta_{n+1} = f \left(\theta_{n},y\right) }[/math], где [math]\displaystyle{ \theta_0 }[/math] можно взять равным 0 или приближению, рассчитанному по формуле для сфероида.

[math]\displaystyle{ \theta_{n+1} = \arcsin\left(1-\frac{(1+\sin \theta_n)(1-\varepsilon\sin \theta_n)^\varepsilon}{e^\frac{2y}{c}(1+\varepsilon\sin \theta_n)^\varepsilon}\right) }[/math]

См. также

• Web Mercator

Ссылки

• Проекция Меркатора. Виртуальная выставка Российской национальной библиотеки
• Проекция Меркатора в учебнике по морской навигации
• Интерактивное сравнение стран в проекции Меркатора