Принцип Гарнака

Принцип Гарнака (вторая теорема Гарнака) — теорема о свойствах монотонной последовательности гармонических в ограниченной области функций, распространяющая сходимость в некоторой точке на сходимость во всей области. Установлена немецким математиком Акселем Гарнаком в 1886 году.

Формально, пусть [math]\displaystyle{ v_n(z) }[/math] — положительные гармонические в некоторой области [math]\displaystyle{ D }[/math] функции; если ряд:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty v_{n}(z) }[/math]

сходится хотя бы в одной точке области [math]\displaystyle{ D }[/math], то он равномерно сходится внутри [math]\displaystyle{ D }[/math].

Доказательство

Пусть [math]\displaystyle{ K }[/math] — круг с центром в [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] и радиусом [math]\displaystyle{ R }[/math], лежащий в [math]\displaystyle{ D }[/math]. Умножая неравенство [math]\displaystyle{ \frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos(\alpha-\phi)+r^2}\le\frac{R+r}{R-r} }[/math], где [math]\displaystyle{ 0 \le r \lt R }[/math], на [math]\displaystyle{ \frac{1}{2 \pi}v_{n}(z_{0}+Re^{i\alpha}) }[/math], и интегрируя по [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] в пределах от [math]\displaystyle{ -\pi }[/math] до [math]\displaystyle{ \pi }[/math], получим [math]\displaystyle{ v_{n}(z_{0}+Re^{i\alpha}) \le \frac{R+r}{R-r} v_{n}(z_{0}) }[/math], откуда следует, что если в точке [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] ряд [math]\displaystyle{ \sum_{1}^\infty v_{n}(z) }[/math] сходится, то он сходится в каждой точке внутри [math]\displaystyle{ K }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ K_{1} , K_{2} , ..., K_{m} }[/math] — цепочка кругов, лежащих в [math]\displaystyle{ D }[/math] и таких, что точка сходимости [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] есть центр круга [math]\displaystyle{ K_{1} }[/math], центр каждого [math]\displaystyle{ K_{j} (1 \lt j \le m) }[/math] лежит внутри [math]\displaystyle{ K_{j-1} }[/math], [math]\displaystyle{ Z }[/math] лежит внутри [math]\displaystyle{ K_m }[/math], где [math]\displaystyle{ Z }[/math] — произвольно выбранная точка в [math]\displaystyle{ D }[/math]. В точке [math]\displaystyle{ Z }[/math] в силу изложенного ряд [math]\displaystyle{ \sum_{1}^\infty v_{n} }[/math] оказывается сходящимся, но [math]\displaystyle{ Z }[/math] — любая точка в [math]\displaystyle{ D }[/math], следовательно, ряд [math]\displaystyle{ \sum_{1}^\infty v_{n} }[/math] сходится в области [math]\displaystyle{ D }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ K }[/math] — произвольный круг с центром [math]\displaystyle{ z_1 }[/math] и радиусом [math]\displaystyle{ \rho }[/math], лежащий в [math]\displaystyle{ D }[/math], [math]\displaystyle{ \overline {K} }[/math] — концентрический круг большего радиуса [math]\displaystyle{ R }[/math], также лежащий в [math]\displaystyle{ D }[/math]. Умножая неравенство [math]\displaystyle{ \frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos(\alpha-\phi)+r^2}\le\frac{R+\rho}{R-\rho} }[/math], где [math]\displaystyle{ 0 \le r \lt \rho }[/math], на [math]\displaystyle{ \frac{1}{2 \pi}v_{n}(z_{1}+Re^{i\alpha}) }[/math], и интегрируя по [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] в пределах от [math]\displaystyle{ -\pi }[/math] до [math]\displaystyle{ \pi }[/math], получим [math]\displaystyle{ v_{n}(z_{1}+Re^{i\alpha}) \le \frac{R+\rho}{R-\rho} v_{n}(z_{1}) }[/math] при [math]\displaystyle{ 0 \le r \lt \rho }[/math], следовательно, ряд [math]\displaystyle{ \sum_{1}^\infty v_{n}(z) }[/math] мажорируется на круге [math]\displaystyle{ K }[/math] числовым сходящимя рядом [math]\displaystyle{ \sum_{1}^\infty \frac {R+\rho}{R-\rho} v_{n}(z_{1}) }[/math] и, следовательно, равномерно сходится на [math]\displaystyle{ K }[/math], но [math]\displaystyle{ K }[/math] — любой круг в [math]\displaystyle{ D }[/math], следовательно, ряд [math]\displaystyle{ \sum_{1}^\infty v_{n}(z) }[/math] равномерно сходится внутри [math]\displaystyle{ D }[/math].

Следствие

Если возрастающая или убывающая последовательность гармонических функций в некоторой области [math]\displaystyle{ D }[/math] сходится по крайней мере в одной точке этой области, то она равномерно сходится внутри [math]\displaystyle{ D }[/math].

Литература

• Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М., Наука, 1980, 336 с., тир. 28000 экз.