Преобразование Френеля
Преобразование Френеля (англ. Fresnel transform) — интегральное преобразование, пришедшее в математику из волновой оптики, и имеющее природу, родственную по своим свойствам классическому преобразованию Фурье. Преобразование Френеля нашло широкое применение в голографии, спектроскопии высокой светосилы и анализе антенных систем с синтезированной апертурой[1].
Определение
Если преобразование Фурье описывает дифракцию плоской однородной волны в дальней зоне (в зоне Фраунгофера), то преобразование Френеля работает в ближней зоне (в зоне Френеля)[1].
Интегральное представление преобразования Френеля от функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] имеет следующий вид[2]:
- [math]\displaystyle{ F(\omega)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{\frac{ix^2}{2\sigma^2}}e^{-ix\omega}\,dx. }[/math]
При этом, соответствующее обратное преобразование формулируется следующим образом:
- [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{\sigma e^{\frac{-ix^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{ix\omega}\,dx. }[/math]
Иными словами, преобразование Френеля связано с преобразованием Фурье от свёртки целевой функции с гауссоидой[3].
Для эффективного вычисления преобразования Френеля используются различные численные вариации классических быстрых преобразований Фурье[4].
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Смирное, 2008, Преобразование Френеля, с. 19.
- ↑ Papoulis, 1968, Fresnel Transforms, p. 322.
- ↑ Papoulis, 1968, Fresnel Transforms, p. 323.
- ↑ Kelly, 2014, p. 755.
Источники
- Смирное, С. А. Преобразования оптических сигналов : Учебное пособие. — СПбГУ ИТМО. — СПб. : «».
- Kelly, Damien P. Numerical calculation of the Fresnel transform : [англ.] // Journal of the Optical Society of America A. — 2014. — Vol. 31, no. 4. — P. 755–764.
- Papoulis, Athanasios. Systems and Transforms with Applications in Optics : [англ.]. — McGraw-Hill Book Company, 1968.