Предел Лапласа
Преде́л Лапла́са — максимальное значение эксцентриситета, при котором решение уравнения Кеплера, выраженное в виде ряда по эксцентриситету, сходится. Названо в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа. Приблизительное значение предела Лапласа:
- 0,662 743 419 349 181 580 974 742 097 109 252 90.
Пояснение
Уравнение Кеплера [math]\displaystyle{ M=E-\varepsilon \sin E }[/math] связывает между собой среднюю аномалию M с эксцентрической аномалией E для тела, движущегося по эллипсу с эксцентриситетом ε. Это уравнение не может быть решено для E через элементарные функции, но теорема Лагранжа об обращении рядов даёт решение в виде степенного ряда от ε:
- [math]\displaystyle{ E = M + \sin(M) \, \varepsilon + \tfrac12 \sin(2M) \, \varepsilon^2 + \left( \tfrac38 \sin(3M) - \tfrac18 \sin(M) \right) \, \varepsilon^3 + \cdots }[/math]
Радиус сходимости этого степенного ряда (такое число, что при меньших значениях ряд сходится, а при больших — расходится) при значениях константы M, не являющихся целочисленными кратными π, не зависит от выбора M и называется числом (пределом) Лапласа.
Предел Лапласа является решением уравнения
- [math]\displaystyle{ \frac{x\exp(\sqrt{1+x^2})}{1+\sqrt{1+x^2}}=1. }[/math]
См. также
Примечания
- Finch, Steven R. (2003), Laplace limit constant, Mathematical constants, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-81805-6.
Ссылки
- Предел Лапласа на сайте MathWorld Архивная копия от 18 марта 2020 на Wayback Machine