Почти всюду
Об утверждении, зависящем от точки пространства с мерой, говорят, что оно выполнено почти всюду, если множество точек, для которых оно не выполнено, имеет меру ноль[1].
Часто используется сокращение, п.в. для почти всюду. Например для функций [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ h }[/math] выражение
- [math]\displaystyle{ f=\!=^{\!\!\!\!\!\!\!\! \text{п.в.}}h }[/math]
означает, что равенство
- [math]\displaystyle{ f(x)=h(x) }[/math]
выполняется при почти всех значениях переменной [math]\displaystyle{ x }[/math].
Определение
Пусть [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{F},\mu) }[/math] — пространство с мерой. Обозначим символом [math]\displaystyle{ T }[/math] множество точек из [math]\displaystyle{ X }[/math], для которых верно некоторое утверждение [math]\displaystyle{ \mathcal{A} }[/math]. Говорят, что утверждение [math]\displaystyle{ \mathcal{A} }[/math] выполнено почти всюду (п.в.), если
- [math]\displaystyle{ (X\setminus T) \subset A , \mu(A) = 0 }[/math]
Замечания
- Множество, на котором условие не выполнено, не всегда является измеримым.
- Если пространство с мерой является вероятностным пространством, то вместо слов «почти всюду» употребляют «почти наверное» или «почти наверняка» (см. статью «почти достоверное событие»).
Примеры
- Функция Дирихле равна нулю почти всюду, ибо [math]\displaystyle{ m(\mathbb{Q}) = 0 }[/math], где [math]\displaystyle{ m }[/math] — мера Лебега на [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].
- Канторова лестница имеет производную, равную нулю почти всюду.
См. также
Примечания
- ↑ ПОЧТИ ВСЮДУ — Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.