Полупространство

Полупростра́нство, ограниченное гиперплоскостью α, — это геометрическая фигура в пространстве, для которой выполняется следующее:

Эта фигура включает в себя плоскость α, но не сводится к ней.
Любой отрезок, ограниченный произвольными точками этой фигуры A и B, не принадлежащими α, не имеет пересечений с плоскостью α.
Любой отрезок, ограниченный произвольными точками этой фигуры A и B, где А принадлежит α, а B — нет, имеет пересечение с плоскостью α.

Формальное определение

Пусть [math]\displaystyle{ V }[/math] будет векторным пространством, [math]\displaystyle{ \lambda\colon V\to\mathbb R }[/math] линейной формой, тогда каждое число [math]\displaystyle{ \beta\in\mathbb R }[/math] определяет замкнутое полупространство

[math]\displaystyle{ \{v\in V\mid\lambda(v)\geq\beta\} }[/math]

Если неравенство строгое, то полупространство

[math]\displaystyle{ \{v\in V\mid\lambda(v)\gt \beta\} }[/math]

называется открытым.