Политропный процесс

Политро́пный процесс, политропи́ческий процесс — термодинамический процесс, во время которого теплоёмкость газа остаётся неизменной.

В соответствии с сущностью понятия теплоёмкости [math]\displaystyle{ C = {\delta Q \over \delta T} }[/math], предельными частными явлениями политропного процесса являются изотермический процесс, теплоёмкость которого бесконечна ([math]\displaystyle{ \delta T = 0 }[/math]), и адиабатный процесс, который протекает без подвода теплоты, и, следовательно, теплоёмкость которого равна нулю ([math]\displaystyle{ \delta Q = 0 }[/math]).

В случае идеального газа, изобарный процесс и изохорный процесс также являются политропными (удельные теплоёмкости идеального газа при постоянном объёме и постоянном давлении соответственно равны [math]\displaystyle{ iR/(2M) }[/math] и ([math]\displaystyle{ i+2)R/(2M) }[/math], (где [math]\displaystyle{ R }[/math] — универсальная газовая постоянная, [math]\displaystyle{ M }[/math] — молярная масса, [math]\displaystyle{ i }[/math] — число степеней свободы) и не меняются при изменении термодинамических параметров).

Показатель политропы

Кривая на термодинамических диаграммах, изображающая политропный процесс, называется «политропа». Для идеального газа уравнение политропы может быть записано в виде:

[math]\displaystyle{ PV^n=const, }[/math]

где [math]\displaystyle{ P }[/math] — давление, [math]\displaystyle{ V }[/math] — объём газа, [math]\displaystyle{ n }[/math] — «показатель политропы», причём

[math]\displaystyle{ n = {c - c_P \over c - c_V}. }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ c }[/math] — теплоёмкость газа в данном процессе, [math]\displaystyle{ c_P }[/math] и [math]\displaystyle{ c_V }[/math] — теплоёмкости того же газа, соответственно, при постоянном давлении и объёме.

В зависимости от вида процесса, можно определить значение [math]\displaystyle{ n }[/math]:

• Изотермический процесс: [math]\displaystyle{ n=1 }[/math], так как [math]\displaystyle{ T=const }[/math], значит, по закону Бойля — Мариотта [math]\displaystyle{ P V=const }[/math], и уравнение политропы вынуждено выглядеть так: [math]\displaystyle{ P V^1=const }[/math].

• Изобарный процесс: [math]\displaystyle{ n=0 }[/math], так как [math]\displaystyle{ P=const }[/math], и уравнение политропы вынуждено выглядеть так: [math]\displaystyle{ P V^0=const }[/math].

• Адиабатный процесс: [math]\displaystyle{ n=\gamma }[/math] (здесь [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — показатель адиабаты), это следует из уравнения Пуассона.

• Изохорный процесс: [math]\displaystyle{ n = \infty }[/math], так как [math]\displaystyle{ V=const }[/math], и в процессе [math]\displaystyle{ V_2/V_1 = 1 }[/math], а из уравнения политропы следует, что [math]\displaystyle{ P_1 V_1^n = P_2 V_2^n = const }[/math], то есть, что [math]\displaystyle{ (V_2/V_1)^n = P_1/P_2 }[/math], то есть [math]\displaystyle{ (P_1/P_2)^{(1/n)} = V_2/V_1 = 1 }[/math], а это возможно, только если [math]\displaystyle{ n }[/math] является бесконечным.

Различные значения показателя политропы [math]\displaystyle{ n }[/math]

Значение показателя политропы	Уравнение	Описание процесса
[math]\displaystyle{ n\lt 0 }[/math]	—	Хотя этот случай не имеет практического значения для наиболее распространённых технических приложений, показатель политропы может принимать отрицательные значения в некоторых специальных случаях, рассматриваемых, например, в некоторых состояниях плазмы в астрофизике.
[math]\displaystyle{ n=0 }[/math]	[math]\displaystyle{ PV^0 = P = const }[/math]	Изобарный процесс (протекающий при постоянном давлении). Происходит как изменение внутренней энергии, так и совершение работы
[math]\displaystyle{ n=1 }[/math]	[math]\displaystyle{ PV = NkT }[/math]	Изотермический процесс (протекающий при постоянной температуре). Следуя из основного уравнения МКТ для идеального газа и первого начала термодинамики, внутренняя энергия идеального газа в данном процессе не меняется, и вся подведённая теплота затрачивается на совершение работы. Однако, это не справедливо для реальных газов, внутренняя энергия которых зависит и от температуры, и от объёма
[math]\displaystyle{ 1\lt n\lt \gamma }[/math]	—	Квазиадиабатические процессы, протекающие, например, в двигателях внутреннего сгорания во время расширения газа.
[math]\displaystyle{ n=\gamma }[/math]	[math]\displaystyle{ PV^\gamma = const }[/math]	[math]\displaystyle{ \gamma= }[/math][math]\displaystyle{ \frac{C_P}{C_V} }[/math] — показатель адиабаты, используемый при описании адиабатического процесса (происходит без теплообмена газа с окружающей средой. Обмен энергией термодинамической системы с окружающей средой исключительно за счёт совершения работы).
[math]\displaystyle{ n=\infty }[/math]	—	Изохорный процесс (протекающий при постоянном объёме. Газ работы не совершает, обмен энергией с окружающей средой только посредством теплообмена).

Когда показатель [math]\displaystyle{ n }[/math] лежит в пределах между любыми двумя значениями из указанных выше (0, 1, [math]\displaystyle{ \gamma }[/math], или [math]\displaystyle{ \infty }[/math]), это означает, что график политропного процесса заключён между графиками соответствующих двух процессов.

Заметим, что [math]\displaystyle{ 1 \lt \gamma \lt 2 }[/math], так как [math]\displaystyle{ \gamma=\frac{C_P}{C_V}=\frac{C_V+R}{C_V}=1+\frac{R}{C_V} = \frac{C_P}{C_P-R}. }[/math]