Подгруппа кручения
Подгру́ппа круче́ния — это подгруппа, образуемая множеством элементов конечного порядка в абелевой группе. Подгруппа кручения абелевой группы [math]\displaystyle{ A }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ \operatorname{Tor}\,A }[/math]. Подгруппой p-кручения [math]\displaystyle{ \operatorname{Tor}_p\,A }[/math] называется множество всех элементов, порядок которых суть некоторая степень p. Подгруппы кручения и p-кручения группы определены однозначно. Любая конечнопорождённая абелева группа может быть разложена в прямую сумму вида
- [math]\displaystyle{ A \cong \Z^n \oplus \operatorname{Tor}\,A \simeq \Z^n \oplus \bigoplus\limits_i \operatorname{Tor}_{p_i}\,A }[/math]
где [math]\displaystyle{ p_i }[/math] — простые числа. [math]\displaystyle{ \operatorname{Tor}_{p_i} \cong \mathbb{Z}_{p_i^{k_i}}^{+} }[/math]. Компоненты [math]\displaystyle{ \operatorname{Tor}_{p_i} }[/math] являются примарными. Существует и другое разложение подгруппы кручения: [math]\displaystyle{ \operatorname{Tor}\,A \cong \mathbb{Z}_{u_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z}_{u_r} }[/math], где [math]\displaystyle{ u_1 \mid u_2, ..., u_{r-1} \mid u_r }[/math]. Числа [math]\displaystyle{ u_i }[/math] также определены однозначно и называются инвариантными множителями группы.
См. также
Литература
- Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.