Персимметричная матрица

Персимметричная матрица — матрица, симметричная относительно побочной диагонали, то есть такая [math]\displaystyle{ (n\times n) }[/math]-матрица [math]\displaystyle{ A }[/math], для которой [math]\displaystyle{ a_{ij} = a_{n-j+1,n-i+1} }[/math] для любых [math]\displaystyle{ i }[/math] и [math]\displaystyle{ j }[/math].

Например, персимметричная матрица размерности 5×5 имеет вид:

[math]\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{23} & a_{13} \\ a_{41} & a_{42} & a_{32} & a_{22} & a_{12} \\ a_{51} & a_{41} & a_{31} & a_{21} & a_{11} \end{bmatrix} }[/math].

Может быть определена через понятие преъединичной матрицы [math]\displaystyle{ J }[/math]: матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] персимметрична, если [math]\displaystyle{ AJ = JA^\intercal }[/math].

Любая линейная комбинация персимметричных матриц является персимметричной матрицей. Матрица, обратная к невырожденной персимметричной матрице, также является невырожденной персимметричной матрицей. Если [math]\displaystyle{ B }[/math] — симметричная матрица, то [math]\displaystyle{ BJ }[/math] и [math]\displaystyle{ JB }[/math] — персимметричные матрицы (одна получается из другой транспонированием).

Симметричная персимметричная матрица называется бисимметричной.